Suponha que um dado honesto de seis faces seja lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o número 3 apareça exatamente duas vezes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade juntos! O enunciado diz que temos um dado honesto de seis faces lançado 5 vezes e queremos saber a chance de sair o número 3 exatamente duas vezes. Vamos precisar usar a probabilidade binomial, que é ótima para calcular chances de eventos que têm dois possíveis resultados (como sucesso ou falha) em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula. A probabilidade de sucesso (sair um 3) em cada lançamento é de , já que o dado tem seis faces. Denotamos isso como .

Passo 3

O número total de lançamentos é 5, então . Queremos exatamente 2 sucessos, ou seja, .

Passo 4

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Vamos calcular cada parte dessa fórmula.

Passo 5

Primeiro, calculamos a combinação binom52 = 5!2! times (5 - 2)! = 5 times 42 times 1 = 10 , que representa o número de maneiras de escolher 2 sucessos em 5 tentativas:

Passo 6

Agora, calculamos (16)^2 = 136 :

Passo 7

Em seguida, calculamos (1 - 16)^5 - 2 = (56)^3 = 125216 :

Passo 8

Agora, juntamos tudo na fórmula:
P(2) = 10 times 136 times 125216

Passo 9

Vamos multiplicar os números:
10 times 136 = 1036 = 518
518 times 125216 = 6253888

Resposta

A probabilidade de sair o número 3 exatamente duas vezes em 5 lançamentos é , ou aproximadamente 0,1608 (16,08%).

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