Suponha que a demanda por certa peça, numa loja de autopeças, tenha a seguinte função de probabilidade
P(X=k)=a 2^kk!, para k in1,2,3,4.
a) Encontre o valor de a;
b) Calcule a demanda esperada;
c) Qual é a variabilidade da demanda?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade relacionado à demanda de uma peça em uma loja de autopeças. O exercício nos apresenta uma função de probabilidade para a demanda onde pode ser 1, 2, 3 ou 4. Precisamos:
a) Encontrar o valor de .
b) Calcular a demanda esperada.
c) Determinar a variabilidade da demanda.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como a soma das probabilidades e a expectativa matemática.

Passo 2

Parte a: Encontrar o valor de sumk=1^4 P(X=k) = sumk=1^4 a cdot 2^kk! = 1
Primeiro, sabemos que a soma de todas as probabilidades de um evento deve ser igual a 1. Então, vamos somar as probabilidades para k=1: & a cdot 2^11! = 2a k=2: & a cdot 2^22! = 4a2 = 2a k=3: & a cdot 2^33! = 8a6 = 4a3 k=4: & a cdot 2^44! = 16a24 = 2a3 e igualar a 1 para encontrar 2a + 2a + 4a3 + 2a3 = 1 .
A soma das probabilidades é:
4a + 6a3 = 1 4a + 2a = 1 6a = 1 a = 16
Agora, calculamos cada termo da soma:
Somando todos os termos:
Somando os :

Passo 3

Parte b: Calcular a demanda esperada
A demanda esperada, ou valor esperado E[X] = sumk=1^4 k cdot P(X=k) , é a soma de cada valor possível de E[X] = sumk=1^4 k cdot 16 cdot 2^kk! = 16 sumk=1^4 2^k(k-1)! multiplicado pela sua probabilidade:
k=1: & 2^10! = 2 k=2: & 2^21! = 4 k=3: & 2^32! = 82 = 4 k=4: & 2^43! = 166 approx 2.6667
Substituindo 2 + 4 + 4 + 2.6667 = 12.6667 e E[X] = 16 times 12.6667 approx 2.1111 :
Calculando cada termo:
Somando os termos:
Então:

Passo 4

Parte c: Determinar a variabilidade da demanda
A variabilidade, ou variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 , mede o quanto os valores de E[X^2] = sumk=1^4 k^2 cdot P(X=k) = sumk=1^4 k^2 cdot 16 cdot 2^kk! = 16 sumk=1^4 2^k cdot k(k-1)! estão dispersos em relação à média. Ela é calculada por:
k=1: & 2^1 cdot 10! = 2 k=2: & 2^2 cdot 21! = 8 k=3: & 2^3 cdot 32! = 242 = 12 k=4: & 2^4 cdot 43! = 646 approx 10.6667
Primeiro, calculamos 2 + 8 + 12 + 10.6667 = 32.6667 :
E[X^2] = 16 times 32.6667 approx 5.4444
Calculando cada termo:
Var(X) = 5.4444 - (2.1111)^2 approx 5.4444 - 4.4483 approx 0.9961
Somando os termos:
Então:
Agora, calculamos a variância:

Resposta

a)
b) Demanda esperada
c) Variabilidade da demanda

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