Suponha que em determinada edificação a temperatura do meio seja de 30^{\circ} \mathrm{C} e que essa temperatura se mantenha constante por certo intervalo de tempo.
Considerando agora que a sala está inicialmente aquecida, esboce a curva de variação da temperatura após o desligamento do aquecedor, considerando os seguintes valores iniciais para a temperatura da sala: 40^{\circ} \mathrm{C}, 50^{\circ} \mathrm{C} e 60^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a curva de variação da temperatura de uma sala após o desligamento do aquecedor, sabendo que a temperatura do meio (ambiente) é constante e igual a 30^\circ\mathrm{C}. A sala está inicialmente aquecida, e devo considerar três temperaturas iniciais distintas para a sala: 40^\circ\mathrm{C}, 50^\circ\mathrm{C} e 60^\circ\mathrm{C}.\n
Informações dadas:
  • Temperatura do meio (ambiente): 30^\circ\mathrm{C} (constante).
  • Temperaturas iniciais da sala (no instante t=0): 40^\circ\mathrm{C}, 50^\circ\mathrm{C}, 60^\circ\mathrm{C}.
  • Após o desligamento do aquecedor, a temperatura da sala decresce até se aproximar da temperatura ambiente. O enunciado pede um esboço (forma) das curvas correspondentes a esses três casos.

Passo 2

Modelagem física (equação diferencial): para problemas de resfriamento/ aquecimento quando a diferença entre a temperatura do corpo e a do meio é pequena/moderada, a variação temporal da temperatura costuma obedecer à chamada lei de resfriamento de Newton. Essa lei diz que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura da sala e a temperatura do meio. Escrevemos isso matematicamente como
\frac{dT}{dt} = -k\,(T(t)-30),
onde:
  • T(t) é a temperatura da sala no instante t (em ^\circ\mathrm{C}),
  • 30 é a temperatura do meio (em ^\circ\mathrm{C}),
  • k é uma constante positiva (unidade: 1/\text{tempo}) que representa a rapidez do resfriamento (quanto maior k, mais rápido esfria),
  • o sinal negativo mostra que quando T(t)>30 a temperatura diminui ( dT/dt<0).\n
    Observação: o valor numérico de k não foi dado; o esboço das curvas será qualitativo (forma e posição) e também podemos dar fórmulas em função de k.

Passo 3

Resolução da equação diferencial (passo a passo): começar por separar variáveis e integrar.
\frac{dT}{dt} = -k\,(T-30)
separando variáveis:
\frac{dT}{T-30} = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. Integração indefinida:
\int \frac{dT}{T-30} = \int -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln|T-30| e a do lado direito é -kt + C, obtendo
\ln|T-30| = -kt + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|T-30| = e^{-kt + C} = e^{C} e^{-kt}.
Como aqui estamos no caso em que a sala está mais quente que o meio (portanto T-30>0), podemos remover o valor absoluto e escrever
T-30 = A e^{-kt},
onde A=e^{C}>0 é uma constante determinada pela condição inicial. Usando a condição inicial T(0)=T_0 (onde T_0 será 40, 50 ou 60), obtemos
T_0 - 30 = A e^{0} = A \quad\Rightarrow\quad A = T_0 - 30.
Portanto a solução geral com condição inicial é
\boxed{T(t)=30 + (T_0-30)\,e^{-kt}.}
Explicando: a temperatura decai exponencialmente da diferença inicial T_0-30 até se aproximar assintoticamente de 30^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos três casos dados:
  • Para T_0=40^\circ\mathrm{C}:
T_{40}(t) = 30 + (40-30)\,e^{-kt} = 30 + 10\,e^{-kt}.
  • Para T_0=50^\circ\mathrm{C}:
T_{50}(t) = 30 + (50-30)\,e^{-kt} = 30 + 20\,e^{-kt}.
  • Para T_0=60^\circ\mathrm{C}:
T_{60}(t) = 30 + (60-30)\,e^{-kt} = 30 + 30\,e^{-kt}.
Propriedades imediatas úteis para o esboço:
  • Em t=0: T_{40}(0)=40, T_{50}(0)=50, T_{60}(0)=60 (corresponde aos pontos iniciais no eixo vertical).
  • Quando t\to\infty: T_{40}(t)\to 30, T_{50}(t)\to 30, T_{60}(t)\to 30 — todas tendem assintoticamente a 30^\circ\mathrm{C}.
  • A diferença para o meio decai exponencialmente: T(t)-30=(T_0-30)e^{-kt}. Assim as curvas mantêm a mesma forma, apenas com amplitudes iniciais diferentes.
  • Derivada inicial (declive no instante t=0):
\left.\frac{dT}{dt}\right|_{t=0} = -k\,(T_0-30).
Logo o caso 60^\circ\mathrm{C} tem a queda inicial mais rápida em módulo, depois 50^\circ\mathrm{C} e por fim 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Como esboçar graficamente (passo a passo prático para fazer à mão na prova):
  1. Desenhe dois eixos: horizontal para o tempo t (a partir de t=0) e vertical para a temperatura T.
  2. Trace uma linha horizontal contínua em T=30 (essa é a assíntota horizontal — temperatura do meio).
  3. Marque os pontos iniciais no eixo vertical no instante t=0: T(0)=40, 50, 60. Coloque três pontos em t=0 nas alturas correspondentes.
  4. Desenhe, a partir de cada ponto inicial, uma curva decrescente que:
    • Começa com declive igual a -k(T_0-30) (mais íngreme para T_0 maior),
    • É sempre decrescente e convexa para cima (segunda derivada positiva para T_0>30),
    • Aproxima-se assintoticamente de T=30 sem nunca cruzá-la.
  5. Ordem das curvas ao longo do tempo: para qualquer t\ge0 vale T_{60}(t)>T_{50}(t)>T_{40}(t)>30. As curvas não se cruzam porque a diferença de cada uma para 30 é apenas uma constante multiplicada por e^{-kt}.
  6. Para posicionar pontos intermediários úteis: escolha um tempo característico, por exemplo t=\tfrac{1}{k} (onde e^{-1}\approx 0{,}368). Nesse tempo:
    • T_{40}\big(\tfrac{1}{k}\big)\approx 30 + 10\cdot 0{,}368 \approx 33{,}68,
    • T_{50}\big(\tfrac{1}{k}\big)\approx 30 + 20\cdot 0{,}368 \approx 37{,}36,
    • T_{60}\big(\tfrac{1}{k}\big)\approx 30 + 30\cdot 0{,}368 \approx 41{,}04.
      Esses pontos ajudam a desenhar as curvas com proporção correta.
  7. Se quiser, marque o tempo de meia-vida da diferença de temperatura: o tempo para a diferença (T(t)-30) cair pela metade é t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}. Após t_{1/2}, cada diferença (T_0-30) ficou metade do valor inicial.

Passo 6

Resumo intuitivo e incentivo: você vai desenhar três exponenciais decrescentes, todas convergindo para a mesma linha T=30^\circ\mathrm{C}. A de 60^\circ\mathrm{C} começa mais alto e cai mais rápido no começo; a de 40^\circ\mathrm{C} começa mais baixa e cai mais devagar. Mesmo sem saber k, a forma relativa e a ordem das curvas são exatamente como descritas — isto basta para o esboço pedido. Vai dar certo — desenha os pontos e liga com curvas exponenciais com concavidade para cima!

Resposta

T_{40}(t)=30+10\,e^{-kt}
T_{50}(t)=30+20\,e^{-kt}
T_{60}(t)=30+30\,e^{-kt}

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