Suponha que se distribua aleatoriamente
bolas em
caixas. Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a probabilidade de que, ao distribuir aleatoriamente
bolas em
caixas, exatamente uma caixa fique vazia. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e princípio da inclusão-exclusão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quantas maneiras diferentes temos para distribuir
bolas em
caixas. Cada bola tem
opções de caixas, então no total, temos
arranjos possíveis. Isso serve como nosso espaço amostral.
Passo 3
Agora, queremos contar quantas dessas distribuições têm exatamente uma caixa vazia. Para isso, vamos seguir dois passos:
- Escolher qual das
caixas vai ficar vazia. - Distribuir as
bolas nas caixas restantes, garantindo que nenhuma delas fique vazia.
Passo 4
Primeiro, escolher qual caixa ficará vazia. Temos
opções para isso.
Passo 5
Agora, precisamos distribuir
bolas em
caixas, de forma que nenhuma dessas
caixas fique vazia. Esse é um caso clássico de distribuição de bolas indistinguíveis em caixas distintas sem vazias, que usamos a fórmula de arranjos com restrição:
, onde
são os números de Stirling de segunda espécie.
Sabemos que
, porque estamos dividindo
elementos em
subconjuntos. Então, a quantidade de maneiras é
.
Passo 6
Multiplicando o número de escolhas para a caixa vazia (
) pelo número de arranjos possíveis das bolas nas
caixas, temos:
Passo 7
Agora, para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de arranjos com exatamente uma caixa vazia pelo total de arranjos possíveis:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Mas percebemos que
. Então, substituindo:
Resposta
A probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia ao distribuir aleatoriamente
bolas em
caixas é: