Suponha que se distribua aleatoriamente n bolas em n caixas. Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a probabilidade de que, ao distribuir aleatoriamente n bolas em n caixas, exatamente uma caixa fique vazia. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e princípio da inclusão-exclusão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quantas maneiras diferentes temos para distribuir n bolas em n caixas. Cada bola tem n opções de caixas, então no total, temos n^n arranjos possíveis. Isso serve como nosso espaço amostral.

Passo 3

Agora, queremos contar quantas dessas distribuições têm exatamente uma caixa vazia. Para isso, vamos seguir dois passos:
  1. Escolher qual das n caixas vai ficar vazia.
  2. Distribuir as n bolas nas n-1 caixas restantes, garantindo que nenhuma delas fique vazia.

Passo 4

Primeiro, escolher qual caixa ficará vazia. Temos n opções para isso.

Passo 5

Agora, precisamos distribuir n bolas em n-1 caixas, de forma que nenhuma dessas n-1 caixas fique vazia. Esse é um caso clássico de distribuição de bolas indistinguíveis em caixas distintas sem vazias, que usamos a fórmula de arranjos com restrição: (n-1)! times S(n, n-1), onde S(n, n-1) são os números de Stirling de segunda espécie.
Sabemos que S(n, n-1) = binomn2, porque estamos dividindo n elementos em n-1 subconjuntos. Então, a quantidade de maneiras é (n-1)! times binomn2.

Passo 6

Multiplicando o número de escolhas para a caixa vazia ( n) pelo número de arranjos possíveis das bolas nas n-1 caixas, temos:
n times (n-1)! times binomn2

Passo 7

Agora, para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de arranjos com exatamente uma caixa vazia pelo total de arranjos possíveis:
P = n times (n-1)! times binomn2n^n

Passo 8

Simplificando a expressão:
P = n times (n-1)! times n(n-1)2n^n = n^2 (n-1)! (n-1)2 n^n = n(n-1)^2!2 n^n
Mas percebemos que (n-1)! times (n-1) = (n-1)! times (n-1) = (n-1)! times (n-1) = n! / n. Então, substituindo:
P = n times n!n times n2 n^n = n!2 n^n-1

Resposta

A probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia ao distribuir aleatoriamente n bolas em n caixas é:
P = n!2 n^n-1

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