Suponha que a duração (em minutos) do atendimento aos clientes em uma agência bancária seja uma variável aleatória Exponencial com média 7,93. Considere a situação na qual você está aguardando na fila e a pessoa imediatamente à sua frente acaba de ser chamada para ser atendida. Nesse contexto, qual a probabilidade de que você tenha de esperar entre 4 e 8 minutos para ser atendido? Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta:
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Passo 1
O enunciado diz que a duração do atendimento é uma variável aleatória Exponencial com média
(minutos). Você está na fila e a pessoa imediatamente à sua frente acabou de ser chamada para ser atendida. A pergunta é: qual a probabilidade de que você tenha de esperar entre 4 e 8 minutos para ser atendido? Ou seja, queremos calcular a probabilidade
onde
é o tempo de atendimento da pessoa à sua frente (em minutos). Informações relevantes listadas:
-
segue distribuição Exponencial com média . - A pessoa acabou de começar o atendimento, então seu tempo de atendimento total é uma realização da variável
(não precisamos condicionar por tempo já decorrido). - Precisamos do resultado com quatro casas decimais.
Passo 2
Uma rápida aula sobre a distribuição Exponencial (do jeitinho que a prova gosta, sem enrolar):
- A distribuição Exponencial é usada para modelar tempos entre eventos (aqui: duração de atendimento).
- Tem parâmetro
(taxa) relacionado à média por
Aqui
é a média (esperança) do tempo em minutos.
- A função de densidade é
e a função de distribuição acumulada (CDF) é
- Uma consequência prática: para
,
Isso é o que vamos usar.
Passo 3
Calcular o parâmetro
a partir da média dada. Usamos a relação
. Portanto,
Numericamente,
Também é útil calcular os produtos
e
:
Passo 4
Usamos a fórmula da probabilidade para o intervalo:
Substituindo os valores de
e
obtemos
Passo 5
Agora calculamos as exponenciais com cuidado (vou mostrar a ideia de aproximação usada):
- Calculei
usando . Com expansão em série curta para e multiplicando por , obtive
- Como
, temos . Computando o quadrado da aproximação anterior dá
Passo 6
Subtraindo:
Arredondando para quatro casas decimais (conforme pedido):