Suponha que a duração (em minutos) do atendimento aos clientes em uma agência bancária seja uma variável aleatória Exponencial com média 7,93. Considere a situação na qual você está aguardando na fila e a pessoa imediatamente à sua frente acaba de ser chamada para ser atendida. Nesse contexto, qual a probabilidade de que você tenha de esperar entre 4 e 8 minutos para ser atendido? Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta: \square
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Passo 1

O enunciado diz que a duração do atendimento é uma variável aleatória Exponencial com média \mu=7,93 (minutos). Você está na fila e a pessoa imediatamente à sua frente acabou de ser chamada para ser atendida. A pergunta é: qual a probabilidade de que você tenha de esperar entre 4 e 8 minutos para ser atendido? Ou seja, queremos calcular a probabilidade
\mathbb{P}(4 \le X \le 8),
onde X é o tempo de atendimento da pessoa à sua frente (em minutos). Informações relevantes listadas:
  • X segue distribuição Exponencial com média \mu=7,93.
  • A pessoa acabou de começar o atendimento, então seu tempo de atendimento total é uma realização da variável X (não precisamos condicionar por tempo já decorrido).
  • Precisamos do resultado com quatro casas decimais.

Passo 2

Uma rápida aula sobre a distribuição Exponencial (do jeitinho que a prova gosta, sem enrolar):
  • A distribuição Exponencial é usada para modelar tempos entre eventos (aqui: duração de atendimento).
  • Tem parâmetro \lambda>0 (taxa) relacionado à média por
\mu=\frac{1}{\lambda}.
Aqui \mu é a média (esperança) do tempo em minutos.
  • A função de densidade é
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0,
e a função de distribuição acumulada (CDF) é
F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
  • Uma consequência prática: para 0\le a<b,
\mathbb{P}(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}.
Isso é o que vamos usar.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda a partir da média dada. Usamos a relação \lambda=1/\mu. Portanto,
\lambda=\frac{1}{7,93}.
Numericamente,
\lambda\approx 0,126066\ldots
Também é útil calcular os produtos \lambda\cdot 4 e \lambda\cdot 8:
\lambda\cdot 4=\frac{4}{7,93}\approx 0,5044136,
\lambda\cdot 8=\frac{8}{7,93}\approx 1,0088272.

Passo 4

Usamos a fórmula da probabilidade para o intervalo:
\mathbb{P}(4\le X\le 8)=e^{-\lambda\cdot 4}-e^{-\lambda\cdot 8}.
Substituindo os valores de \lambda\cdot 4 e \lambda\cdot 8 obtemos
\mathbb{P}(4\le X\le 8)=e^{-0,5044136}-e^{-1,0088272}.

Passo 5

Agora calculamos as exponenciais com cuidado (vou mostrar a ideia de aproximação usada):
  • Calculei e^{-0,5044136} usando e^{-0,5044136}=e^{-0,5}\,e^{-0,0044136}. Com expansão em série curta para e^{-0,0044136} e multiplicando por e^{-0,5}=0,6065306597, obtive
e^{-0,5044136}\approx 0,6038607837.
  • Como \lambda\cdot 8=2(\lambda\cdot 4), temos e^{-1,0088272}=(e^{-0,5044136})^2. Computando o quadrado da aproximação anterior dá
e^{-1,0088272}\approx 0,3646464281.

Passo 6

Subtraindo:
\mathbb{P}(4\le X\le 8)\approx 0,6038607837-0,3646464281=0,2392143556.
Arredondando para quatro casas decimais (conforme pedido):
\mathbb{P}(4\le X\le 8)\approx 0,2392.

Resposta

0,2392

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