Suponha que a duração de vida de um componente seja distribuída normalmente, com desvio-padrão igual a 10 horas. Se o componente tiver confiabilidade de 0,95 para um período de operação de 100 horas, qual será a sua duração de vida esperada?
a.1.
b.115,8.
c.275,4.
d.225,8.
e.125.
a.1.
b.115,8.
c.275,4.
d.225,8.
e.125.
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a duração de vida de um componente que segue uma distribuição normal, com desvio-padrão de 10 horas. A gente precisa descobrir a média dessa duração de vida sabendo que há 95% de chance de o componente durar pelo menos 100 horas. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente da distribuição normal e das propriedades de confiabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma confiabilidade de 0,95 para 100 horas. Isso quer dizer que a probabilidade de o componente durar mais de 100 horas é de 95%, ou seja, $ P(X > 100) = 0,95 $.
Passo 3
Como estamos lidando com uma distribuição normal, podemos usar a tabela z para encontrar o valor correspondente a essa probabilidade. Mas primeiro, vamos reescrever a probabilidade de forma mais conveniente: $ P(X \leq 100) = 0,05 $. Isso significa que 5% dos componentes duram até 100 horas.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor z que corresponde a uma probabilidade cumulativa de 0,05. Olhando na tabela z, vemos que $ z \approx -1,645 $.
Passo 5
A fórmula do z-score é:
Onde:
- $ X = 100 $ horas
- $ \sigma = 10 $ horas
- $ \mu $ é a média que queremos encontrar
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Resolvendo para $ \mu $:
Resposta
A duração de vida esperada do componente é 115,8 horas. Portanto, a resposta correta é a opção b. 115,8.