Uma variável aleatória tem f.d.p. triangular dada a seguir
f(x)=rc x, & 0 <= x <= 1 2-x, & 1
d) P(1 / 4 ) R:27/32

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma variável aleatória contínua com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) triangular. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que essa variável aleatória X esteja entre 1/4 e 3/2. Para isso, vamos usar os conceitos de integração de funções densidade e entender como a f.d.p. está definida nesse caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função densidade $ f(x) $ está definida:
f(x) á
Isso significa que a f.d.p. aumenta linearmente de 0 a 1 e depois diminui linearmente de 1 a 2.

Passo 3

Sabemos que a probabilidade de X estar entre dois valores $ a $ e $ b $ é dada pela integral da f.d.p. nesse intervalo:
a
No nosso caso, queremos $ P\left(\frac{1}{4} < X < \frac{3}{2}\right) $.

Passo 4

Vamos observar que $ \frac{1}{4} = 0,25 $ e $ \frac{3}{2} = 1,5 $. Nosso intervalo [0,25; 1,5] abrange duas partes da função f.d.p.:
  1. De 0,25 a 1, onde $ f(x) = x $
  2. De 1 a 1,5, onde $ f(x) = 2 - x $
Portanto, precisamos calcular duas integrais separadas e somar os resultados.

Passo 5

Primeiro, calculamos a integral de 0,25 a 1 de $ f(x) = x $:
f(x) = x

Passo 6

Em seguida, calculamos a integral de 1 a 1,5 de $ f(x) = 2 - x $:
f(x) = 2 - x
Calculando passo a passo:
Para $ x = 1,5 $:
integral1^1,5 (2 - x) , dx = [2x - x^22]1^1,5 = (2 times 1,5 - (1,5)^22) - (2 times 1 - 1^22)
Para $ x = 1 $:
x = 1,5
Agora, subtraímos:
2 times 1,5 = 3 (1,5)^22 = 2,252 = 1,125 Rightarrow 3 - 1,125 = 1,875

Passo 7

Finalmente, somamos os dois resultados das integrais para obter a probabilidade total:
P(14 < X < 32) = 0,46875 + 0,375 = 0,84375
Convertendo para fração, temos:
0,84375 = 2732

Resposta

A probabilidade $ \mathrm{P}\left(\frac{1}{4} < \mathrm{X} < \frac{3}{2}\right) $ é igual a $ \frac{27}{32} $.

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