Uma variável aleatória tem f.d.p. triangular dada a seguir
d) P(1 / 4 ) R:27/32
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma variável aleatória contínua com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) triangular. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que essa variável aleatória X esteja entre 1/4 e 3/2. Para isso, vamos usar os conceitos de integração de funções densidade e entender como a f.d.p. está definida nesse caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função densidade $ f(x) $ está definida:
f(x) á
Isso significa que a f.d.p. aumenta linearmente de 0 a 1 e depois diminui linearmente de 1 a 2.
Passo 3
Sabemos que a probabilidade de X estar entre dois valores $ a $ e $ b $ é dada pela integral da f.d.p. nesse intervalo:
a
No nosso caso, queremos $ P\left(\frac{1}{4} < X < \frac{3}{2}\right) $.
Passo 4
Vamos observar que $ \frac{1}{4} = 0,25 $ e $ \frac{3}{2} = 1,5 $. Nosso intervalo [0,25; 1,5] abrange duas partes da função f.d.p.:
De 0,25 a 1, onde $ f(x) = x $
De 1 a 1,5, onde $ f(x) = 2 - x $
Portanto, precisamos calcular duas integrais separadas e somar os resultados.
Passo 5
Primeiro, calculamos a integral de 0,25 a 1 de $ f(x) = x $:
f(x) = x
Passo 6
Em seguida, calculamos a integral de 1 a 1,5 de $ f(x) = 2 - x $: