O tempo, em horas, que um computador de certa marca funciona, sem apresentar problemas, é uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.)
f(x)= 1100 cdot e^-x / 100, & x >= 0 0, & x<0
a) Qual a probabilidade de um computador dessa marca funcionar mais de 10 dias sem apresentar problemas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um computador que funciona sem problemas por um certo tempo, e esse tempo está distribuído de forma que a probabilidade dele continuar funcionando segue uma função específica. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre Distribuições de Probabilidade, mais precisamente a Distribuição Exponencial. Precisamos calcular a probabilidade de esse computador funcionar por mais de 10 dias sem apresentar problemas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os 10 dias para horas, porque a variável 10 dias times 24 horasdia = 240 horas está em horas. Sabemos que 1 dia tem 24 horas, então:
f(x) = 1100 cdot e^-x / 100, & x >= 0 0, & x < 0
Agora, temos que encontrar a probabilidade de P(X > t) = e^-t / beta ser maior que 240 horas, ou seja, P(X > 240) = e^-240 / 100 = e^-2.4 .
A função de densidade de probabilidade que nos foi dada é:
e^-2.4 approx 0,0907
Essa é a função da Distribuição Exponencial, onde horas é o parâmetro que indica o tempo médio de funcionamento.
A probabilidade de ser maior que um certo valor em uma distribuição exponencial é dada por:
Substituindo horas e horas:
Agora, vamos calcular o valor de :
Ou seja, a probabilidade é de aproximadamente 9,07%.

Resposta

A probabilidade de um computador dessa marca funcionar mais de 10 dias sem apresentar problemas é de aproximadamente 9,07%.

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