Suponha que f seja uma derivável em R. Sejam F(x)=f(x^n) e G(x)=[f(x)]^n. Encontre G^prime(x)

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável em R e define a função
G(x) = l(f(x)r)^n
Queremos encontrar G'(x). O conteúdo de matéria envolvido é a regra da cadeia aplicada à função potência.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, reconhecemos uma composição de duas funções:
u(x) = f(x), h(u) = u^n,
de modo que G(x) = hl(u(x)r).

Passo 3

A derivada de h(u)=u^n em relação a u é
h'(u) = n,u^n-1
Pela regra da cadeia,
G'(x) = h'l(u(x)r),cdot,u'(x) = nl(u(x)r)^n-1,u'(x)
Substituindo u(x)=f(x) e u'(x)=f'(x), obtemos
G'(x) = nl(f(x)r)^n-1,f'(x)

Resposta

G'(x) = n,[f(x)]^n-1,f'(x)

Exercícios relacionados