Use Integração por Partes ou a Mudança de Variável para resolver as integrais:
integral0^1(x^2+1) e^-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = integral0^1 (x^2 + 1),e^-x,dx
Podemos usar o método de integração por partes duas vezes para o termo integral x^2 e^-xdx e depois somar com integral e^-xdx. Lembrando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Calcular integral x^2 e^-xdx em duas etapas de partes:
  1. Escolhemos u = x^2, dv = e^-xdx. Então du = 2x,dx e v = -e^-x. integral x^2 e^-xdx = -x^2 e^-x + 2integral x e^-xdx
  2. Agora em integral x e^-xdx usamos u = x, dv = e^-xdx. Logo du = dx e v = -e^-x, integral x e^-xdx = -x e^-x + integral e^-xdx = -x e^-x - e^-x
Substituindo de volta,
integral x^2 e^-xdx = -x^2 e^-x + 2l(-x e^-x - e^-xr) = -(x^2 + 2x + 2),e^-x

Passo 3

Agora montamos a antiderivada de (x^2+1)e^-x somando com integral e^-xdx:
integral (x^2+1)e^-xdx = integral x^2 e^-xdx + integral e^-xdx = -(x^2+2x+2)e^-x ;+; (-e^-x) = -(x^2+2x+3),e^-x
Chamemos
F(x) = -l(x^2+2x+3r)e^-x
como antiderivada de (x^2+1)e^-x.

Passo 4

Avaliar a integral definida de 0 a 1:
I = F(1) - F(0) = -l(1^2+2cdot1+3r)e^-1 ;-;l[-l(0^2+2cdot0+3r)e^0r] = -6,e^-1 + 3 = 3 - 6e

Resposta

3 - 6e

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