Use Integração por Partes ou a Mudança de Variável para resolver as integrais:
integral0^pi theta sen(3 theta) d theta

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular a integral
integral0^pi theta sin(3theta),dtheta
Esse é um caso típico de integração por partes, pois temos o produto de uma função polinomial ( theta) e uma função trigonométrica ( sin(3theta)).

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui escolhemos
u = theta, dv = sin(3theta),dtheta
Derivando e integrando, obtemos
du = dtheta, v = integral sin(3theta),dtheta = -13cos(3theta)

Passo 3

Substituindo na fórmula, a integral indefinida fica
integral theta sin(3theta),dtheta = theta!l(-tfrac13cos(3theta)r) - integral l(-tfrac13cos(3theta)r),dtheta
= -theta3cos(3theta) + 13integral cos(3theta),dtheta = -theta3cos(3theta) + 13cdot13sin(3theta) + C
= -theta3cos(3theta) + 19sin(3theta) + C

Passo 4

Agora aplicamos os limites de 0 a pi. Para theta=pi:
-pi3cos(3pi) + 19sin(3pi) = -pi3(-1) + 0 = pi3
Para theta=0:
-03cos(0) + 19sin(0) = 0
Logo,
integral0^pi theta sin(3theta),dtheta = pi3 - 0 = pi3

Resposta

pi3

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