Suponha que foi feita uma pesquisa com pessoas que frequentam um Shopping. Entre elas, constatou- se que,
tinham um cartão de crédito Visa;
tinham um cartão Mastercard e
tinha um cartão ELO. Verificou-se também que
tinham cartões Visa e Mastercard,
tinham cartões Visa e ELO,
tinham cartões Mastercard e ELO e 7% possuíam os três tipos de cartões.
Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada não tenha nenhum dos três cartões?
Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada não tenha nenhum dos três cartões?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada não tenha nenhum dos três cartões?”\n
Informações dadas (peguei os valores do enunciado):\n
Informações dadas (peguei os valores do enunciado):\n
-
tinham cartão Visa.\n -
tinham cartão Mastercard.\n -
tinham cartão ELO.\n -
tinham cartões Visa e Mastercard.\n -
tinham cartões Visa e ELO.\n -
tinham cartões Mastercard e ELO.\n -
possuíam os três tipos de cartões.\n
Passo 2
Definimos eventos para organizar as contas:\n
-
= pessoa tem cartão Visa.\n -
= pessoa tem cartão Mastercard.\n -
= pessoa tem cartão ELO.\n
O objetivo é encontrar a probabilidade de que a pessoa não tenha nenhum dos três cartões, isto é. Isso é o complemento do evento “tem pelo menos um dos cartões”.
Passo 3
A ferramenta que vamos usar é o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos. A fórmula para a probabilidade da união é:\n
Explicando a ideia por trás da fórmula, passo a passo e de forma intuitiva:\n
- Se somássemos só
estaríamos contando duas vezes as pessoas que têm dois cartões (por isso subtraímos as interseções , , ).\n - Ao subtrair essas interseções, quem tem os três cartões foi subtraído três vezes (uma em cada interseção), mas tinha sido contado três vezes na soma inicial, então agora foi subtraído demais; por isso precisamos adicionar
no final. Essa correção dá o valor exato de “pelo menos um cartão”.
Passo 4
Substituímos os números fornecidos na fórmula. Todos os valores são percentuais, então trabalhamos em porcentagem:\n
Agora calculamos passo a passo:\n
- Soma das probabilidades individuais:\n
- Soma das interseções de pares:\n
- Aplicando a fórmula:\n
Passo 5
Fazendo as contas finais:\n
Logo
das pessoas têm pelo menos um dos cartões.
Passo 6
Agora usamos o complemento para achar a probabilidade de não ter nenhum cartão:\n
Em forma decimal isso é
. Força aí — esse tipo de problema costuma cair muito e com essa receita (inclusão-exclusão + complemento) você resolve direto na prova.