Suponha que foi feita uma pesquisa com pessoas que frequentam um Shopping. Entre elas, constatou- se que, 48 \% tinham um cartão de crédito Visa; 42 \% tinham um cartão Mastercard e 41 \% tinha um cartão ELO. Verificou-se também que 15 \% tinham cartões Visa e Mastercard, 24 \% tinham cartões Visa e ELO, 20 \% tinham cartões Mastercard e ELO e 7% possuíam os três tipos de cartões.
Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada não tenha nenhum dos três cartões?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada não tenha nenhum dos três cartões?”\n
Informações dadas (peguei os valores do enunciado):\n
  • 48\% tinham cartão Visa.\n
  • 42\% tinham cartão Mastercard.\n
  • 41\% tinham cartão ELO.\n
  • 15\% tinham cartões Visa e Mastercard.\n
  • 24\% tinham cartões Visa e ELO.\n
  • 20\% tinham cartões Mastercard e ELO.\n
  • 7\% possuíam os três tipos de cartões.\n

Passo 2

Definimos eventos para organizar as contas:\n
  • V = pessoa tem cartão Visa.\n
  • M = pessoa tem cartão Mastercard.\n
  • E = pessoa tem cartão ELO.\n
    O objetivo é encontrar a probabilidade de que a pessoa não tenha nenhum dos três cartões, isto é P\big((V\cup M\cup E)^{c}\big). Isso é o complemento do evento “tem pelo menos um dos cartões”.

Passo 3

A ferramenta que vamos usar é o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos. A fórmula para a probabilidade da união é:\n
P(V\cup M\cup E)=P(V)+P(M)+P(E)-P(V\cap M)-P(V\cap E)-P(M\cap E)+P(V\cap M\cap E).\n
Explicando a ideia por trás da fórmula, passo a passo e de forma intuitiva:\n
  • Se somássemos só P(V)+P(M)+P(E) estaríamos contando duas vezes as pessoas que têm dois cartões (por isso subtraímos as interseções P(V\cap M), P(V\cap E), P(M\cap E)).\n
  • Ao subtrair essas interseções, quem tem os três cartões foi subtraído três vezes (uma em cada interseção), mas tinha sido contado três vezes na soma inicial, então agora foi subtraído demais; por isso precisamos adicionar P(V\cap M\cap E) no final. Essa correção dá o valor exato de “pelo menos um cartão”.

Passo 4

Substituímos os números fornecidos na fórmula. Todos os valores são percentuais, então trabalhamos em porcentagem:\n
P(V\cup M\cup E)=48\%+42\%+41\%-15\%-24\%-20\%+7\%.\n
Agora calculamos passo a passo:\n
  • Soma das probabilidades individuais:\n
48\%+42\%+41\%=131\%.\n
  • Soma das interseções de pares:\n
15\%+24\%+20\%=59\%.\n
  • Aplicando a fórmula:\n
P(V\cup M\cup E)=131\%-59\%+7\%.

Passo 5

Fazendo as contas finais:\n
131\%-59\%=72\%,\n
72\%+7\%=79\%.\n
Logo 79\% das pessoas têm pelo menos um dos cartões.

Passo 6

Agora usamos o complemento para achar a probabilidade de não ter nenhum cartão:\n
P\big((V\cup M\cup E)^{c}\big)=100\%-P(V\cup M\cup E)=100\%-79\%=21\%.\n
Em forma decimal isso é 0,21. Força aí — esse tipo de problema costuma cair muito e com essa receita (inclusão-exclusão + complemento) você resolve direto na prova.

Resposta

21\%

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