Suponhat que a força exercida sobre um objeto em uma dimensio seja dada por F_{1}(x)=-\alpha x^{3}, onde \alpha é uma constante cuja unidade é newtons por metro cubico \left(\mathrm{N} / \mathrm{m}^{3}\right). Determine a expressăo da energia potencial correspondente a esta força conservativa. Faça U=0 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá a força unidimensional conservativa
F_{1}(x) = -\alpha x^{3},
onde \alpha tem unidade de \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}, e pede a energia potencial U(x) tal que U(0)=0. O conteúdo usado será a relação entre força e energia potencial em uma dimensão.

Passo 2

Para uma força conservativa em uma dimensão vale
F(x) = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}.
Aqui F_{1}(x) = -\alpha x^{3}, logo
-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = -\alpha x^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = \alpha x^{3}.

Passo 3

Integramos em x para obter U(x):
U(x) = \int \alpha x^{3}\,\mathrm{d}x = \alpha \,\frac{x^{4}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Impondo a condição U(0)=0 (já que 0 cm =0 m), temos
U(0) = \alpha\,\frac{0^{4}}{4} + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = 0.

Resposta

U(x) = \frac{\alpha\,x^{4}}{4}.

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