Suponha que a fronteira C da região circular fechada R definida por |z| <= 1 seja parametrizada por x=cos t, y=sen t, 0 <= t <= 2 pi. Considerando |f(z(t))|, determine os módulos máximo e mínimo da função analítica f dada, assim como os pontos z em C onde esses valores ocorrem. [Sugestão: nas partes (b) e © pode ser útil recordar, do cálculo, como determinar os extremos relativos de uma função de valor real da variável real t.]
f(z)=(i z+3)^2

Passo 1

Temos a função analítica f(z)=(iz+3)^2 e queremos encontrar os valores mínimo e máximo de |f(z)| na fronteira C do círculo unitário |z|=1. O conteúdo envolve módulo de função analítica, parametrização de C e otimização de função real em t.

Passo 2

Parametrizamos C por z(t)=e^it, com 0<= t<=2pi. Então
f(z(t))=(i e^it+3)^2
|f(z(t))|=|i e^it+3|^2

Passo 3

Escrevemos i e^it=-sin t+icos t, portanto
i e^it+3=(3-sin t)+icos t
e
|i e^it+3|^2=(3-sin t)^2+cos^2t=9-6sin t+sin^2t+cos^2t=10-6sin t

Passo 4

Logo |f(z(t))|=10-6sin t.
Para encontrar extremos de g(t)=10-6sin t usamos derivadas:
g'(t)=-6cos t=0implies t=tfracpi2,,tfrac3pi2,
g''(t)=6sin t

Passo 5

Em t=tfracpi2, g'>0 indica mínimo local e g(tfracpi2)=10-6=4.
Em t=tfrac3pi2, g''<0 indica máximo local e .

Passo 6

Esses valores ocorrem nos pontos de C: t=tfracpi2implies z=i e t=tfrac3pi2implies z=-i.

Resposta

Módulo mínimo |f|min=4 em z=i; módulo máximo |f|max=16 em z=-i.

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