Suponha que a fronteira
da região circular fechada
definida por
seja parametrizada por
,
. Considerando
, determine os módulos máximo e mínimo da função analítica
dada, assim como os pontos
em
onde esses valores ocorrem. [Sugestão: nas partes (b) e © pode ser útil recordar, do cálculo, como determinar os extremos relativos de uma função de valor real da variável real
.]
Passo 1
Temos a função analítica
e queremos encontrar os valores mínimo e máximo de
na fronteira
do círculo unitário
. O conteúdo envolve módulo de função analítica, parametrização de
e otimização de função real em
.
Passo 2
Parametrizamos
por
, com
. Então
Passo 3
Escrevemos
, portanto
e
Passo 4
Logo
.
Para encontrar extremos de usamos derivadas:
Para encontrar extremos de
Passo 5
Em
,
indica mínimo local e
.
Em ,
indica máximo local e .
Em
Passo 6
Esses valores ocorrem nos pontos de
:
e
.
Resposta
Módulo mínimo
em
; módulo máximo
em
.