Suponha que a fronteira
da região circular fechada
definida por
seja parametrizada por
,
. Considerando
, determine os módulos máximo e mínimo da função analítica
dada, assim como os pontos
em
onde esses valores ocorrem. [Sugestão: nas partes (b) e © pode ser útil recordar, do cálculo, como determinar os extremos relativos de uma função de valor real da variável real
.]
Passo 1
Resumindo o que temos: queremos estudar a função analítica
na fronteira
do disco
, onde
é parametrizada por
. O objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo de
em
e os pontos
onde esses extremos ocorrem. Para isso vamos usar a expressão do módulo em termos de distância e depois encontrar extremos de uma função real de
.
Passo 2
Primeiro, note que para
e
temos
e portanto
Passo 3
Para simplificar
, expandimos usando
. Primeiro calcule
Em seguida,
ou seja
Passo 4
Agora basta analisar as extremidades de
. Como
varia entre
e
, temos:
- Para
(máximo de ), é mínimo:
Isso ocorre quando
, ou seja o menor
é
.
- Para
(mínimo de ), é máximo:
Isso ocorre quando
, logo em
o valor é
.
Passo 5
Concluindo, os valores de
em
são
O ponto que dá o mínimo é
e o que dá o máximo é
Resposta
Módulo mínimo
em
; módulo máximo
em
.