Suponha que a fronteira C da região circular fechada R definida por |z| <= 1 seja parametrizada por x=cos t, y=sen t, 0 <= t <= 2 pi. Considerando |f(z(t))|, determine os módulos máximo e mínimo da função analítica f dada, assim como os pontos z em C onde esses valores ocorrem. [Sugestão: nas partes (b) e © pode ser útil recordar, do cálculo, como determinar os extremos relativos de uma função de valor real da variável real t.]
f(z)=(z-2-2 raiz3 i)^2

Passo 1

Resumindo o que temos: queremos estudar a função analítica f(z)=(z-2-2raiz3,i)^2 na fronteira C do disco |z|<=1, onde C é parametrizada por z(t)=cos t+isin t=e^it,;0<= t<=2pi. O objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo de |f(z)| em C e os pontos zin C onde esses extremos ocorrem. Para isso vamos usar a expressão do módulo em termos de distância e depois encontrar extremos de uma função real de t.

Passo 2

Primeiro, note que para z=e^it e a=2+2raiz3,i temos
f(z)=(e^it-a)^2
e portanto
|f(z)|=|e^it-a|^2

Passo 3

Para simplificar |e^it-a|^2, expandimos usando a=|a|e^ivarphi. Primeiro calcule
|a|=raiz2^2+(2raiz3)^2=raiz4+12=4,
|e^it-a|^2=(e^it-a)(e^-it-overline a)=1+|a|^2-2Rel(ae^-itr)
Em seguida,
|e^it-a|^2=1+|a|^2-2|a|cos(t-varphi)=1+16-8cos(t-tfracpi3)=17-8cos(t-tfracpi3)
ou seja

Passo 4

Agora basta analisar as extremidades de g(t)=17-8cos(t-tfracpi3). Como costheta varia entre -1 e 1, temos:
  • Para cos(t-tfracpi3)=1 (máximo de cos), g(t) é mínimo:
gmin=17-8cdot1=9
Isso ocorre quando t-tfracpi3=2kpi, ou seja o menor tin[0,2pi] é t=pi/3.
  • Para cos(t-tfracpi3)=-1 (mínimo de cos), g(t) é máximo:
gmax=17-8cdot(-1)=25
Isso ocorre quando t-tfracpi3=pi+2kpi, logo em [0,2pi] o valor é t=4pi/3.

Passo 5

Concluindo, os valores de |f(z)| em C são
|f|min=9e|f|max=25
O ponto que dá o mínimo é
z=e^ipi/3=tfrac12+tfracraiz32i,
e o que dá o máximo é
z=e^i4pi/3=-tfrac12-tfracraiz32i

Resposta

Módulo mínimo 9 em z=tfrac12+tfracraiz32i; módulo máximo 25 em z=-tfrac12-tfracraiz32i.

Exercícios relacionados