Suponha que a função dada é estendida periodicamente, para fora do intervalo original. Encontre a série de Fourier da função estendida. Determine a função para a qual a série converge e esboce seu gráfico por três períodos.
f(t)=cc-x, & -2 <= x<0, x, & 0 <= x<2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Fourier de uma função que é repetida periodicamente. A função dada é:
f(t) = - x, & -2 <= x < 0, x, & 0 <= x < 2
Então, estamos lidando com o tópico de Séries de Fourier, que é uma ferramenta para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier e entender para qual função essa série converge. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Como a função é definida de -2 a 2, o período T é 4 (porque 2 - (-2) = 4). A frequência angular fundamental omega0 é dada por:
omega0 = 2piT = 2pi4 = pi2

Passo 3

Agora, vamos escrever a série de Fourier geral para uma função periódica com período T:
f(t) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(n omega0 t) + bn sin(n omega0 t) ]
Precisamos encontrar os coeficientes a0, an e bn.

Passo 4

Começamos calculando o coeficiente a0, que representa a média da função no período:
a0 = 1T integral-2^2 f(t) , dt
Substituindo f(t):
a0 = 14 ( integral-2^0 (-t) , dt + integral0^2 t , dt )

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
integral-2^0 (-t) , dt = -[ t^22 ]-2^0 = -( 0 - 42 ) = -(-2) = 2
integral0^2 t , dt = [ t^22 ]0^2 = 42 - 0 = 2
Portanto:
a0 = 14 (2 + 2) = 44 = 1

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes an:
an = 2T integral-2^2 f(t) cos(n omega0 t) , dt = 12 ( integral-2^0 (-t) cos(npi t2) dt + integral0^2 t cos(npi t2) dt )
Observando que a função f(t) é ímpar ( f(-t) = -f(t)) e cos é uma função par, o produto será ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Então, todos os an = 0.

Passo 7

Vamos calcular agora os coeficientes bn:
bn = 2T integral-2^2 f(t) sin(n omega0 t) , dt = 12 ( integral-2^0 (-t) sin(npi t2) dt + integral0^2 t sin(npi t2) dt )
Como f(t) é ímpar e sin também é ímpar, o produto é par. Portanto, podemos simplificar:
bn = 12 cdot 2 integral0^2 t sin(npi t2) dt = integral0^2 t sin(npi t2) dt

Passo 8

Vamos resolver a integral integral t sin(at) dt usando integração por partes. Seja:
u = t Rightarrow du = dt
dv = sin(npi t2) dt Rightarrow v = -2npi cos(npi t2)
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então:
integral t sin(npi t2) dt = -2tnpi cos(npi t2) + 2npi integral cos(npi t2) dt
Resolvendo a segunda integral:
integral cos(npi t2) dt = 2npi sin(npi t2) + C
Portanto:
integral t sin(npi t2) dt = -2tnpi cos(npi t2) + (2npi)^2 sin(npi t2) + C

Passo 9

Aplicando os limites de 0 a 2:
bn = [ -2tnpi cos(npi t2) + 4n^2 pi^2 sin(npi t2) ]0^2
Calculando em t = 2:
-4npi cos(npi) + 4n^2 pi^2 sin(npi)
E em t = 0:
0 + 0
Sabendo que sin(npi) = 0 e cos(npi) = (-1)^n, temos:
bn = -4npi (-1)^n

Passo 10

Então, os coeficientes da série de Fourier são:
a0 = 1, an = 0, bn = 4npi (-1)^n+1
Substituindo na fórmula geral:
f(t) = 1 + sumn=1^infty [ 0 cdot cos(npi t2) + 4npi (-1)^n+1 sin(npi t2) ]
Simplificando:
f(t) = 1 + 4pi sumn=1^infty (-1)^n+1n sin(npi t2)

Passo 11

A série de Fourier encontrada converge para a função original f(t) em todos os pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita. No nosso caso, f(t) é uma função contínua exceto em t = -2k e t = 2k para qualquer inteiro k, onde a série converge para a média dos valores adjacentes.

Passo 12

Para esboçar o gráfico por três períodos ( -6 a 6), observe que a função é uma onda triangular repetindo-se a cada 4 unidades. Ela sobe linearmente de -2 para 0 e desce de 0 para 2, e esse padrão se repete. A série de Fourier somará senos com amplitudes decrescentes para aproximar essa forma triangular.

Resposta

A série de Fourier da função estendida periodicamente é:
f(t) = 1 + 4pi sumn=1^infty (-1)^n+1n sin(npi t2)
Essa série converge para a própria função f(t) nos pontos onde ela é contínua e para a média dos valores quando há descontinuidade. O gráfico da função consiste em uma onda triangular repetida a cada 4 unidades de tempo, sendo possível visualizar três períodos no intervalo de -6 a 6.

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