Suponha que a função dada é estendida periodicamente, para fora do intervalo original. Encontre a série de Fourier da função estendida. Determine a função para a qual a série converge e esboce seu gráfico por três períodos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Fourier de uma função que é repetida periodicamente. A função dada é:
Então, estamos lidando com o tópico de Séries de Fourier, que é uma ferramenta para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier e entender para qual função essa série converge. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Como a função é definida de
a
, o período
é
(porque
). A frequência angular fundamental
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos escrever a série de Fourier geral para uma função periódica com período
:
Precisamos encontrar os coeficientes
,
e
.
Passo 4
Começamos calculando o coeficiente
, que representa a média da função no período:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Observando que a função
é ímpar (
) e
é uma função par, o produto será ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Então, todos os
.
Passo 7
Vamos calcular agora os coeficientes
:
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto é par. Portanto, podemos simplificar:
Passo 8
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:
Resolvendo a segunda integral:
Portanto:
Passo 9
Aplicando os limites de
a
:
Calculando em
:
E em
:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 10
Então, os coeficientes da série de Fourier são:
Substituindo na fórmula geral:
Simplificando:
Passo 11
A série de Fourier encontrada converge para a função original
em todos os pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita. No nosso caso,
é uma função contínua exceto em
e
para qualquer inteiro
, onde a série converge para a média dos valores adjacentes.
Passo 12
Para esboçar o gráfico por três períodos (
a
), observe que a função é uma onda triangular repetindo-se a cada
unidades. Ela sobe linearmente de
para
e desce de
para
, e esse padrão se repete. A série de Fourier somará senos com amplitudes decrescentes para aproximar essa forma triangular.
Resposta
A série de Fourier da função estendida periodicamente é:
Essa série converge para a própria função
nos pontos onde ela é contínua e para a média dos valores quando há descontinuidade. O gráfico da função consiste em uma onda triangular repetida a cada
unidades de tempo, sendo possível visualizar três períodos no intervalo de
a
.