Suponha X e Y tenham uma distribuição conjunta para a qual a função de densidade de probabilidade é definida como: f(x, y)= \begin{cases}c y^{2} & , \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á \mathrm{P}\left\{X \leq 1\right\}. Passo 1O enunciado nos dá uma função densidade conjunta f(x,y)=\begin{cases}c\,y^{2},&0\le x\le2,\;0\le y\le1,\\\ 0,&\text{caso contrário},\end{cases}á e pede \mathrm{P}\{X\le1\}. Precisamos primeiro determinar a constante de normalização c e depois integrar f(x,y) sobre a região 0\le x\le1,\;0\le y\le1. Passo 2Para achar c, impomos a condição de que a probabilidade total seja 1: \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{1}c\,y^{2}\,dy\,dx = c\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{1}y^{2}dy = c\cdot 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2c}{3} \stackrel{!}{=}1. Logo, \frac{2c}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{3}{2}. Passo 3Agora calculamos \mathrm{P}\{X\le1\} =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1}c\,y^{2}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}dx\;\biggl[c\int_{0}^{1}y^{2}dy\biggr] =1\cdot c\cdot\frac{1}{3} =\frac{c}{3} =\frac{\tfrac{3}{2}}{3} =\frac{1}{2}. Resposta \displaystyle \frac{1}{2} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSuponha X e Y tenham uma distribuição conjunta para a qual a função de densidade de probabilidade é definida como: f(x, y)= \begin{cases}c y^{2} & , \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á Determine o valor da constante c. Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por: f(x, y)= \begin{cases}c|x+y| & , \text { para } x=-2,-1,0,1,2 \\\ & \text { e } y=-2,-1,0,1,2 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á Determine o valor de c . Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é dada por: f(x, y)= \begin{cases}c\left(x^{2}+y\right) & , \text { para } 0 \leq y \leq 1-x^{2} \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á Determine o valor da constante c. Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é dada por: f(x, y)= \begin{cases}c\left(x^{2}+y\right) & , \text { para } 0 \leq y \leq 1-x^{2} \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á \mathrm{P}\left\{0 \leq X \leq 1 / 2\right\}.