Suponha X e Y tenham uma distribuição conjunta para a qual a função de densidade de probabilidade é definida como:
f(x, y)= \begin{cases}c y^{2} & , \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á
\mathrm{P}\left\{X \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função densidade conjunta
f(x,y)=\begin{cases}c\,y^{2},&0\le x\le2,\;0\le y\le1,\\\ 0,&\text{caso contrário},\end{cases}á
e pede \mathrm{P}\{X\le1\}. Precisamos primeiro determinar a constante de normalização c e depois integrar f(x,y) sobre a região 0\le x\le1,\;0\le y\le1.

Passo 2

Para achar c, impomos a condição de que a probabilidade total seja 1:
\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{1}c\,y^{2}\,dy\,dx = c\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{1}y^{2}dy = c\cdot 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2c}{3} \stackrel{!}{=}1.
Logo,
\frac{2c}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{3}{2}.

Passo 3

Agora calculamos
\mathrm{P}\{X\le1\} =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1}c\,y^{2}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}dx\;\biggl[c\int_{0}^{1}y^{2}dy\biggr] =1\cdot c\cdot\frac{1}{3} =\frac{c}{3} =\frac{\tfrac{3}{2}}{3} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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