Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é dada por:
f(x, y)= \begin{cases}c\left(x^{2}+y\right) & , \text { para } 0 \leq y \leq 1-x^{2} \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á
Determine o valor da constante c.

Passo 1

O enunciado dá a função de densidade conjunta
f(x,y)= \begin{cases} c\bigl(x^{2}+y\bigr),&0\le y\le 1 - x^{2},\\\\ 0,&\text{caso contrário} \end{cases}á
e pede o valor de c. Aqui o conteúdo é a normalização de uma densidade: devemos impor
\int_{\mathbb{R}}\!\int_{\mathbb{R}}f(x,y)\,dy\,dx = 1.

Passo 2

Identificamos o suporte de (X,Y). A condição 0\le y\le 1-x^{2} exige 1-x^{2}\ge0, ou seja -1\le x\le1. Logo
\int_{-\!1}^{1}\int_{0}^{\,1-x^{2}}c\bigl(x^{2}+y\bigr)\,dy\,dx \;=\;1.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{\,1-x^{2}}\bigl(x^{2}+y\bigr)\,dy = x^{2}(1-x^{2}) + \frac{(1-x^{2})^{2}}{2}.
Portanto a normalização fica
c\int_{-1}^{1}\Bigl[x^{2}(1-x^{2}) + \tfrac{(1-x^{2})^{2}}{2}\Bigr]dx = 1.

Passo 4

Usamos a simetria da integral em [-1,1]. Defina
I_{1}=\int_{-1}^{1}x^{2}(1-x^{2})\,dx,\quad I_{2}=\int_{-1}^{1}\frac{(1-x^{2})^{2}}{2}\,dx.
Para I_{1}:
I_{1}=2\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{4})\,dx =2\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}-\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\Bigr) =\frac{4}{15}.
Para I_{2}:
I_{2}=\frac{1}{2}\,2\int_{0}^{1}(1-2x^{2}+x^{4})\,dx =\int_{0}^{1}(1-2x^{2}+x^{4})\,dx =\Bigl[x-\tfrac{2x^{3}}{3}+\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{8}{15}.
Somando, a integral total vale
I_{1}+I_{2}=\frac{4}{15}+\frac{8}{15}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.

Passo 5

Voltando à normalização, temos
c\cdot\frac{4}{5}=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{5}{4}.

Resposta

\displaystyle c=\frac{5}{4}.

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