Suponha X e Y tenham uma distribuição conjunta para a qual a função de densidade de probabilidade é definida como:
f(x, y)= \begin{cases}c y^{2} & , \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á
Determine o valor da constante c.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de densidade conjunta f(x,y)\) definida por \[f(x,y)= \begin{cases} c\,y^{2},&0\le x\le2\text{ e }0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
O conteúdo é normalização de uma densidade conjunta contínua: devemos escolher (c] de modo que
\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy=1.

Passo 2

Escrevemos a condição de normalização restringindo a região de integração ao retângulo 0\le x\le2,\;0\le y\le1:
\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{1}c\,y^{2}\,dy\,dx=1.

Passo 3

Como o integrando separa em função de x e y multiplicativamente, podemos fatorar:
\int_{x=0}^{2}\!dx \;\times\;\int_{y=0}^{1}c\,y^{2}\,dy=1.

Passo 4

Calculamos cada integral:
\int_{x=0}^{2}dx =2,
\int_{y=0}^{1}y^{2}\,dy = \frac{1}{3}.
Logo
2 \times c \times \frac{1}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2c}{3}=1.

Passo 5

Isolando c, obtemos
c = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle c=\frac{3}{2}.

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