Suponha X e Y tenham uma distribuição conjunta para a qual a função de densidade de probabilidade é definida como:
f(x, y)= \begin{cases}c y^{2} & , \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}
Determine o valor da constante c.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função de densidade conjunta f(x,y)\) definida por
\[f(x,y)= \begin{cases} c\,y^{2},&0\le x\le2\text{ e }0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
O conteúdo é normalização de uma densidade conjunta contínua: devemos escolher (c] de modo que \iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy=1.
Passo 2
Escrevemos a condição de normalização restringindo a região de integração ao retângulo 0\le x\le2,\;0\le y\le1:
\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{1}c\,y^{2}\,dy\,dx=1.
Passo 3
Como o integrando separa em função de x e y multiplicativamente, podemos fatorar: