Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por:
f(x, y)= \begin{cases}c|x+y| & , \text { para } x=-2,-1,0,1,2 \\\ & \text { e } y=-2,-1,0,1,2 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á
Determine o valor de c .

Passo 1

O enunciado dá uma função de massa conjunta discreta de (X,Y) em \{-2,-1,0,1,2\}^2
f(x,y)=c\,|x+y|
e pede o valor de c. Como é uma distribuição de probabilidade, devemos usar a condição de normalização:
\sum_{x=-2}^{2}\sum_{y=-2}^{2}f(x,y)=1.

Passo 2

Aplicando a normalização:
\sum_{x=-2}^{2}\sum_{y=-2}^{2}c\,|x+y| = c\sum_{x=-2}^{2}\sum_{y=-2}^{2}|x+y| = 1.
Chamemos
S = \sum_{x=-2}^{2}\sum_{y=-2}^{2}|x+y|.
Então c\,S=1 e basta calcular S.

Passo 3

Agrupamos pelas possíveis somas s=x+y, que variam de -4 a 4. O número de pares (x,y) que somam s é:
N(-4)=1,\;N(-3)=2,\;N(-2)=3,\;N(-1)=4,\;N(0)=5,
N(1)=4,\;N(2)=3,\;N(3)=2,\;N(4)=1.

Passo 4

Agora computamos
S = \sum_{s=-4}^{4}N(s)\,|s| =1\cdot4 + 2\cdot3 + 3\cdot2 + 4\cdot1 + 5\cdot0 + 4\cdot1 + 3\cdot2 + 2\cdot3 + 1\cdot4 = 40.

Passo 5

Como c\,S=1 e S=40, segue
c = \frac{1}{40}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{40}

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