Suponha que a função de densidade de probabilidade de ( \mathrm{X}, \mathrm{Y}\) ) é dada por: \[f(x, y)= \begin{cases}c x^{2} y & , \text { para } x^{2} \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}
a. Determine o valor da constante c. Resp.: 21/4.
b. Determinar (\mathrm{P}{X \geq Y}]. Resp.: 3/20.

Passo 1

O enunciado dá a função densidade conjunta
f(x,y)= \begin{cases} c\,x^{2}y,&\text{se }x^{2}\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário} \end{cases}á
e pede (a) o valor de c e (b) \displaystyle P\{X\ge Y\}. Vamos usar integração dupla sobre a região de suporte para encontrar essas quantidades.

Passo 2

Para achar c, impomos a condição
\iint_{\mathbb{R}^{2}}f(x,y)\,dx\,dy=1.
A região de suporte é dada por x^{2}\le y\le1. Como isso só vale se x^{2}\le1, temos x\in[-1,1] e, para cada x, y vai de x^{2} até 1. Assim
1=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=x^{2}}^{1}c\,x^{2}y\;dy\,dx.

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{1}y\,dy =\Bigl[\tfrac{1}{2}y^{2}\Bigr]_{y=x^{2}}^{1} =\tfrac12\bigl(1-(x^{2})^{2}\bigr) =\tfrac12\bigl(1-x^{4}\bigr).
Logo
1 =\int_{-1}^{1}c\,x^{2}\,\frac{1-x^{4}}{2}\;dx =\frac{c}{2}\int_{-1}^{1}(x^{2}-x^{6})\,dx.
Como a função é par,
\int_{-1}^{1}(x^{2}-x^{6})\,dx =2\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{6})\,dx =2\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}-\tfrac{x^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{7}\Bigr) =2\cdot\frac{4}{21} =\frac{8}{21}.
Portanto
1=\frac{c}{2}\cdot\frac{8}{21} \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{21}{4}.

Passo 4

Agora queremos
P\{X\ge Y\} =\iint_{X\ge Y}f(x,y)\,dx\,dy.
Na região de suporte y\ge x^{2}\ge0, e a condição x\ge y só pode ocorrer para x\ge0. Para x\in[0,1] e y satisfazendo simultaneamente x^{2}\le y\le1 e y\le x, obtemos y\in[x^{2},x]. Assim
P\{X\ge Y\} =\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{x}c\,x^{2}y\;dy\,dx.

Passo 5

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{x}y\,dy =\Bigl[\tfrac12y^{2}\Bigr]_{x^{2}}^{x} =\tfrac12\bigl(x^{2}-(x^{2})^{2}\bigr) =\tfrac12\bigl(x^{2}-x^{4}\bigr).
Então
P\{X\ge Y\} =\int_{0}^{1}c\,x^{2}\,\frac{x^{2}-x^{4}}{2}\;dx =\frac{c}{2}\int_{0}^{1}(x^{4}-x^{6})\,dx =\frac{c}{2}\Bigl[\tfrac{x^{5}}{5}-\tfrac{x^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{c}{2}\Bigl(\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{7}\Bigr) =\frac{c}{2}\cdot\frac{2}{35} =\frac{c}{35}.
Substituindo c=\tfrac{21}{4},
P\{X\ge Y\} =\frac{21/4}{35} =\frac{21}{140} =\frac{3}{20}.

Resposta

(a) c=\tfrac{21}{4}
(b) P\{X\ge Y\}=\tfrac{3}{20}

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