Suponha que um gás sofra um processo de compressão cuja pressão oposta seja igual à pressão atmosférica. Qual a expressão de trabalho se: O gás for de van der Waals?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre um gás que passa por um processo de compressão, onde a pressão oposta é igual à pressão atmosférica. Estamos trabalhando com a matéria de Termodinâmica, especificamente com gases reais descritos pela equação de Van der Waals. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho realizado nesse processo usando a equação de Van der Waals.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um gás durante um processo de compressão ou expansão é dado pela integral da pressão externa em relação ao volume. A fórmula geral é:
Aqui, $ W $ é o trabalho, $ P_{ext} $ é a pressão externa (neste caso, a pressão atmosférica), $ V_i $ é o volume inicial e $ V_f $ é o volume final.
Passo 3
Como a pressão oposta é igual à pressão atmosférica ($ P_{atm} $), podemos substituir $ P_{ext} $ por $ P_{atm} $ na equação:
Passo 4
Agora, consideramos que $ P_{atm} $ é constante durante o processo de compressão. Isso simplifica a integral, já que podemos tirar a pressão de fora da integral:
Passo 5
Integrando $ dV $, temos:
Ou seja:
Onde $ \Delta V = V_f - V_i $ é a variação de volume.
Passo 6
No entanto, o gás é um gás de Van der Waals. A equação de Van der Waals ajusta a equação dos gases ideais para levar em conta o volume próprio das moléculas e as interações entre elas:
Onde:
- $ P $ é a pressão do gás,
- $ V_m $ é o volume molar,
- $ a $ e $ b $ são constantes características do gás,
- $ R $ é a constante dos gases,
- $ T $ é a temperatura.
Passo 7
Para calcular o trabalho nesse contexto, precisamos usar a expressão ajustada para a pressão do gás Van der Waals:
Então, o trabalho realizado será:
Substituindo $ P $:
Passo 8
Agora, vamos resolver essa integral separadamente:
Integrando termo a termo:
Resposta
Portanto, a expressão do trabalho realizado durante a compressão de um gás de Van der Waals é: