Suponha que um gás sofra um processo de compressão cuja pressão oposta seja igual à pressão atmosférica. Qual a expressão de trabalho se: O gás for de van der Waals?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um gás que passa por um processo de compressão, onde a pressão oposta é igual à pressão atmosférica. Estamos trabalhando com a matéria de Termodinâmica, especificamente com gases reais descritos pela equação de Van der Waals. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho realizado nesse processo usando a equação de Van der Waals.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um gás durante um processo de compressão ou expansão é dado pela integral da pressão externa em relação ao volume. A fórmula geral é:
W = -integralVi^Vf Pext , dV
Aqui, $ W $ é o trabalho, $ P_{ext} $ é a pressão externa (neste caso, a pressão atmosférica), $ V_i $ é o volume inicial e $ V_f $ é o volume final.

Passo 3

Como a pressão oposta é igual à pressão atmosférica ($ P_{atm} $), podemos substituir $ P_{ext} $ por $ P_{atm} $ na equação:
Patm

Passo 4

Agora, consideramos que $ P_{atm} $ é constante durante o processo de compressão. Isso simplifica a integral, já que podemos tirar a pressão de fora da integral:
Patm

Passo 5

Integrando $ dV $, temos:
dV
Ou seja:
W = -Patm (Vf - Vi)
Onde $ \Delta V = V_f - V_i $ é a variação de volume.

Passo 6

No entanto, o gás é um gás de Van der Waals. A equação de Van der Waals ajusta a equação dos gases ideais para levar em conta o volume próprio das moléculas e as interações entre elas:
(P + aVm^2)(Vm - b) = RT
Onde:
  • $ P $ é a pressão do gás,
  • $ V_m $ é o volume molar,
  • $ a $ e $ b $ são constantes características do gás,
  • $ R $ é a constante dos gases,
  • $ T $ é a temperatura.

Passo 7

Para calcular o trabalho nesse contexto, precisamos usar a expressão ajustada para a pressão do gás Van der Waals:
P = RTVm - b - aVm^2
Então, o trabalho realizado será:
W = -integralVi^Vf P , dV
Substituindo $ P $:
P

Passo 8

Agora, vamos resolver essa integral separadamente:
W = -RT integralVi^Vf 1V - b , dV + a integralVi^Vf 1V^2 , dV
Integrando termo a termo:
W = -RT ln(Vf - bVi - b) + a ( 1Vf - 1Vi )

Resposta

Portanto, a expressão do trabalho realizado durante a compressão de um gás de Van der Waals é:
W = -RT ln(Vf - bVi - b) + a ( 1Vf - 1Vi )

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