Suponha que queiramos testar H_{0}: \mu=50 contra H_{1}: \mu \neq 50, em que \mu é a média de uma normal N(\mu, 900). Extraída uma amostra de n=36 elementos da população, obtemos \bar{X}=52.
a) Realize um teste de hipóteses considerando \alpha=1 \% com as informações mencionadas acima e calcule o valor-p.
b) Realize um teste de hipóteses \operatorname{com} \alpha=5 \% supondo que S^{2}=850 e que \sigma^{2} é desconhecido.

Passo 1

O enunciado define um teste bilateral
H_{0}:\mu=50\quad\text{vs.}\quad H_{1}:\mu\neq50
para uma normal N(\mu,900) com n=36 e \bar X=52. No item (a) assumimos \sigma^2=900 conhecida e \alpha=1\%. No item (b) assumimos \sigma^2 desconhecida, temos S^2=850, e usamos \alpha=5\%.

Passo 2

Para (a) usamos o teste de z sabendo \sigma=30. O estatístico é
z_{0}=\frac{\bar X-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt n} =\frac{52-50}{30/\sqrt{36}} =\frac{2}{30/6} =\frac{2}{5} =0,4.
O valor crítico bilateral para \alpha=1\% é z_{0{,}005}\approx2,5758.

Passo 3

Como \lvert z_{0}\rvert=0,4<2,5758, não rejeitamos H_{0}. O valor-p é
\text{p-valor} =2\bigl[1-\Phi(0,4)\bigr] \approx2\bigl[1-0,6554\bigr] \approx0,6892.

Passo 4

Para (b) usamos o teste de t com n-1=35 graus de liberdade e S^2=850. O desvio padrão amostral é S=\sqrt{850}\approx29,154, logo
t_{0}=\frac{\bar X-\mu_{0}}{S/\sqrt n} =\frac{52-50}{29,154/6} \approx\frac{2}{4,859} \approx0,412.
O valor crítico bilateral para \alpha=5\% e df=35 é t_{0{,}025,35}\approx2,0301.

Passo 5

Como \lvert t_{0}\rvert=0,412<2,0301, não rejeitamos H_{0} ao nível de 5\%.

Resposta

(a) Não rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=1\%.
O valor-p é aproximadamente 0,6892.
(b) Não rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=5\%.

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