Suponha que sejam variáveis aleatórias i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável discreta com probabilidades dadas pela tabela abaixo
\
-1 0 1
0,2 0,5 0,3
\
É possível encontrar uma resposta melhor para o valor de sem usar o TCL? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá n observações i.i.d. de uma variável discreta X com
P(X=-1)=0,2, P(X=0)=0,5, P(X=1)=0,3
Supondo que queiramos garantir
Pl(|bar Xn - mu| <= varepsilonr)>= 1-de<a,
onde bar Xn=(1/n)sumi=1^n Xi e mu=E[X]. Com o Teorema Central do Limite (TCL) obtemos um n aproximado mas não rigorosamente garantido para todo n. A pergunta é se, sem usar o TCL, podemos obter um valor de n melhor (isto é, menor) e garantido.

Passo 2

Usando a desigualdade de Chebyshev, que vale para qualquer distribuição de variância finita, temos
onde
Como , temos .
Para garantir basta forçar
Esse vale sempre, mas é muito conservador.

Passo 3

Como X é limitada em [-1,1], podemos usar a desigualdade de Hoeffding, que dá
Pl(|bar Xn - mu|>=varepsilonr)<= 2exp!l(-2nvarepsilon^2(1-(-1))^2r) =2exp!l(-n,tfrac2varepsilon^24r) =2exp!l(-ntfracvarepsilon^22r)
Para que isso fique <=de<a basta
2exp!l(-ntfracvarepsilon^22r)<=de<a Longrightarrow n>=2varepsilon^2ln!l(2de<ar)
Embora menos grosseiro que Chebyshev, esse n ainda é maior do que o dado pelo TCL.

Passo 4

Nenhuma dessas desigualdades não assintóticas (Chebyshev, Hoeffding, Chernoff, etc.) fornece um n menor do que o aproximado pelo TCL. A única forma de achar o menor n exato seria calcular a distribuição de bar Xn por convolução discreta e inverter
Pl(|bar Xn-mu|<=varepsilonr)>=1-de<a,
o que é impraticável para n grande. Logo, sem usar o TCL não conseguimos um n mais baixo garantido.

Resposta

Não. Quaisquer limites exatos via desigualdades (Chebyshev, Hoeffding, Chernoff···) são mais conservadores e exigem amostras maiores do que o valor aproximado pelo TCL. A única forma de obter o mínimo exato seria calcular a distribuição de barXn por convolução, o que torna a solução inviável.

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