Suponha que
sejam variáveis aleatórias i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável discreta
com probabilidades dadas pela tabela abaixo
\
-1
0
1
0,2
0,5
0,3
\
É possível encontrar uma resposta melhor para o valor de
sem usar o TCL? Justifique sua resposta.
|
-1 | 0 | 1 |
|
0,2 | 0,5 | 0,3 |
\ |
Passo 1
O enunciado nos dá
observações i.i.d. de uma variável discreta
com
Supondo que queiramos garantir
onde
e
. Com o Teorema Central do Limite (TCL) obtemos um
aproximado mas não rigorosamente garantido para todo
. A pergunta é se, sem usar o TCL, podemos obter um valor de
melhor (isto é, menor) e garantido.
Passo 2
Usando a desigualdade de Chebyshev, que vale para qualquer distribuição de variância finita, temos
onde
Como
, temos
.
Para garantir basta forçar
Para garantir
Esse
vale sempre, mas é muito conservador.
Passo 3
Como
é limitada em
, podemos usar a desigualdade de Hoeffding, que dá
Para que isso fique
basta
Embora menos grosseiro que Chebyshev, esse
ainda é maior do que o dado pelo TCL.
Passo 4
Nenhuma dessas desigualdades não assintóticas (Chebyshev, Hoeffding, Chernoff, etc.) fornece um
menor do que o aproximado pelo TCL. A única forma de achar o menor
exato seria calcular a distribuição de
por convolução discreta e inverter
o que é impraticável para
grande. Logo, sem usar o TCL não conseguimos um
mais baixo garantido.
Resposta
Não. Quaisquer limites exatos via desigualdades (Chebyshev, Hoeffding, Chernoff···) são mais conservadores e exigem amostras maiores do que o valor aproximado pelo TCL. A única forma de obter o mínimo exato seria calcular a distribuição de
por convolução, o que torna a solução inviável.