Suponha que e sejam funções vetoriais lisas tais que e . Use essa informação para calcular a derivada em de cada função.

Passo 1

Temos as funções vetoriais r1(t) e r2(t) lisas com r1(0)=lang<=-1,1,2rang<= e r1'(0)=lang<=4,0,2rang<= ( r2 não aparece em r(t), então a gente não vai usar ela aqui). A função alvo é r(t)=[ln(t+1)],r1(t) e queremos r'(0). O tema é derivada de produto entre escalar e vetor.

Passo 2

Para derivar , onde , usamos a regra do produto:

Passo 3

(t)=u’(t),\mathbf{r}_1(t)+u(t),\mathbf{r}_1’(t).]

Passo 4

Calculando u'(t): como u(t)=ln(t+1), temos u'(t)=1/(t+1) e, em particular, u'(0)=1. Também u(0)=ln1=0.

Passo 5

Agora avaliamos em t=0:
r'(0)=u'(0),r1(0)+u(0),r1'(0)=1cdotr1(0)+0cdotr1'(0)=r1(0)

Passo 6

Substituindo r1(0)=lang<=-1,1,2rang<=, concluímos:

Resposta

lang<= -1,1,2rang<=

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