Suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações elementares sobre as linhas à dada forma escalonada reduzida por linhas. Resolva o sistema supondo que as variáveis sejam x1, x2, ldots xn, da esquerda para a direita.
[rrrrr1 & 2 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 1 & 3 & 4]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada de um sistema já reduzida à forma escalonada reduzida por linhas. As colunas correspondem aos coeficientes de ,x1,x2,x3,x4 e a última coluna aos termos constantes. Nosso objetivo é escrever todas as soluções do sistema em forma paramétrica, aplicando o conceito de variáveis básicas (ligadas a pivôs) e variáveis livres.

Passo 2

Identificamos os pivôs (os 1s líderes) em cada linha:
rrrrr 1 & 2 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 1 & 3 & 4
– Na primeira linha o pivô está na coluna de x1,
– na segunda linha o pivô está na coluna de x3.
Portanto x1 e x3 são variáveis básicas e x2,x4 são variáveis livres.

Passo 3

Escrevemos as equações correspondentes a cada linha:
Linha 2: x3+3x4=4
Linha 1: x1+2x2+2x4=-1
Da segunda equação isolamos x3, e da primeira isolamos x1:
x3=4-3x4,
x1=-1-2x2-2x4

Passo 4

Para expressar a solução em forma paramétrica, definimos:
x2=s, x4=t, s,tinR
Substituindo em x1 e x3, obtemos:
x1=-1-2s-2t, x3=4-3t

Resposta

(x1,x2,x3,x4)=(-1-2s-2t,;s,;4-3t,;t), s,tinR

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