Use teorema de Stokes para calcular
\int_{\Omega}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S}
\vec{F}=x \vec{i}+\left(x{2}+y{2}+z^{2}\right) \vec{j}+z\left(y^{4}-1\right) \vec{k}
e
\Omega
é parte do cilindro
x{2}+z{2}=1
acima do plano
xy
e entre os planos
y=-1
e
y=1
com vetor normal com componente
z
positiva.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{\Omega} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
onde
\mathbf{F}=(x,\,x^{2}+y^{2}+z^{2},\,z(y^{4}-1))
e \Omega é a parte do cilindro x^{2}+z^{2}=1 com z\ge0 e -1\le y\le1, orientada de modo que a componente z do vetor normal seja positiva. Vamos aplicar diretamente a definição de superfície parametrizada, pois fica mais rápido do que montar a curva \partial\Omega.

Passo 2

Primeiro calculamos \nabla\times\mathbf{F}. Se \mathbf{F}=(P,Q,R), então
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\partial_{y}R-\partial_{z}Q,\;\partial_{z}P-\partial_{x}R,\;\partial_{x}Q-\partial_{y}P\Bigr).
Aqui
P=x,\quad Q=x^{2}+y^{2}+z^{2},\quad R=z(y^{4}-1).
Logo
\partial_{y}R=4y^{3}z,\quad \partial_{z}Q=2z,
\partial_{z}P=0,\quad \partial_{x}R=0,
\partial_{x}Q=2x,\quad \partial_{y}P=0.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(4y^{3}z-2z,\;0,\;2x\bigr) = \bigl(2z(2y^{3}-1),\,0,\,2x\bigr).

Passo 3

Parametrizamos \Omega por
\mathbf{r}(\theta,y)=(\cos\theta,\;y,\;\sin\theta),
com \theta\in[0,\pi] (para z\ge0) e y\in[-1,1]. Os vetores tangentes são
\mathbf{r}_{\theta}=(-\sin\theta,0,\cos\theta), \quad \mathbf{r}_{y}=(0,1,0).
Para ter normal com componente z\ge0 tomamos
d\mathbf{S} =\bigl(\mathbf{r}_{y}\times \mathbf{r}_{\theta}\bigr)\,d\theta\,dy =(\cos\theta,\,0,\,\sin\theta)\,d\theta\,dy.

Passo 4

Na parametrização, x=\cos\theta e z=\sin\theta. Então
(\nabla\times\mathbf{F})\bigl(\mathbf{r}(\theta,y)\bigr) =\bigl(2\sin\theta(2y^{3}-1),\,0,\,2\cos\theta\bigr).
O produto escalar com d\mathbf{S} é
\bigl(2\sin\theta(2y^{3}-1),0,2\cos\theta\bigr)\cdot(\cos\theta,0,\sin\theta) =2(2y^{3}-1)\sin\theta\cos\theta +2\cos\theta\sin\theta =4y^{3}\sin\theta\cos\theta.
Assim
\iint_{\Omega}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =\int_{y=-1}^{1}\int_{\theta=0}^{\pi}4y^{3}\sin\theta\cos\theta \,d\theta\,dy.

Passo 5

Observe que
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta =\tfrac12\int_{0}^{\pi}\sin(2\theta)\,d\theta =0,
logo o integral em \theta anula todo o resultado. Portanto
\iint_{\Omega}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados