Use teorema de Stokes para calcular
\int_{\Omega}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S}
\vec{F}=x \vec{i}+\left(x{2}+y{2}+z^{2}\right) \vec{j}+z\left(y^{4}-1\right) \vec{k}
e
\Omega
é parte do cilindro
x{2}+z{2}=1
acima do plano
xy
e entre os planos
y=-1
e
y=1
com vetor normal com componente
z
positiva.
\int_{\Omega}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S}
\vec{F}=x \vec{i}+\left(x{2}+y{2}+z^{2}\right) \vec{j}+z\left(y^{4}-1\right) \vec{k}
e
\Omega
é parte do cilindro
x{2}+z{2}=1
acima do plano
xy
e entre os planos
y=-1
e
y=1
com vetor normal com componente
z
positiva.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a parte do cilindro
com
e
, orientada de modo que a componente
do vetor normal seja positiva. Vamos aplicar diretamente a definição de superfície parametrizada, pois fica mais rápido do que montar a curva
.
Passo 2
Primeiro calculamos
. Se
, então
Aqui
Logo
Portanto
Passo 3
Parametrizamos
por
com
(para
) e
. Os vetores tangentes são
Para ter normal com componente
tomamos
Passo 4
Na parametrização,
e
. Então
O produto escalar com
é
Assim
Passo 5
Observe que
logo o integral em
anula todo o resultado. Portanto