Suponha uma partícula de massa m no estado
Psi(x, t)=A e^-a[m x^2hbar+i t]
onde A e a são constantes.
Determine lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<=, sigmax,lang<= prang<=,lang<= p^2rang<= e sigmap.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda unidimensional
Psi(x,t)=A,e^-al(tfracm,x^2hbar+i,tr)
com A e a constantes reais positivas, e pede os valores
lang<= xrang<=, lang<= x^2rang<=, sigmax,
lang<= prang<=, lang<= p^2rang<= e sigmap.
O conteúdo envolve normalização de um pacote Gaussiano e o cálculo de valores esperados usando os operadores
hat x=x e hat p=-,ihbar,partial/partial x.

Passo 2

Normalização de Psi:
integral-infty^infty|Psi|^2,dx =;|A|^2integral-infty^inftye^-2a,m,x^2/hbar,dx =|A|^2raizpi,hbar2a,m =1
Logo
|A|^2 =raiz2a,mpi,hbar,
e podemos tomar A=(2a,m/(pihbar))^1/4 real.

Passo 3

Como |Psi|^2propto e^-alpha x^2 com alpha=2a,m/hbar, sabemos que
lang<= xrang<= =integral x,|Psi|^2,dx=0 (pacote centrado em 0),
e
lang<= x^2rang<= =12alpha =12,(2a,m/hbar) =hbar4a,m
Portanto
sigmax =raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 =raizhbar4a,m

Passo 4

Para o momento usamos hat p=-,ihbar,partialpartial x. Como Psi é real em x (apenas fase global em t),
lang<= prang<= =-,ihbarintegralPsi^*,partialxPsi,dx =0
(porque a derivada gera uma função ímpar). Para lang<= p^2rang<= vale o resultado padrão de Gaussiana:
lang<= p^2rang<= =hbar^2,alpha2 =hbar^2,2a,m/hbar2 =a,m,hbar
Logo
sigmap =raizlang<= p^2rang<=-lang<= prang<=^2 =raiza,m,hbar

Resposta

lang<= xrang<==0
lang<= x^2rang<==hbar4a,m
sigmax=raizhbar4a,m
lang<= prang<==0
lang<= p^2rang<==a,m,hbar
sigmap=raiza,m,hbar

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