Suponha que uma partícula se mova no espaço de modo que sua posição no instante
seja dada pelo vetor
. Para valores não nulos de
o vetor
representa a velocidade média da partícula no intervalo de tempo de comprimento
e seu limite é o vetor velocidade no instante
, ou seja,
(a) Se no instante
uma partícula tem sua posição dada pelo vetor
, qual a velocidade dela no instante
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e a posição dela no tempo $ t $ é dada pelo vetor $ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, \ln \cos t \rangle $. O que a gente quer descobrir aqui é: qual é a velocidade dessa partícula no instante $ t = \frac{\pi}{4} $? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a derivada de vetores em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade da partícula é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Isso significa que a velocidade é dada pela derivada do vetor posição $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $. Matemáticamente, escrevemos isso como:
Então, nosso primeiro passo é calcular essa derivada.
Passo 3
Vamos derivar cada componente do vetor $ \mathbf{r}(t) $ separadamente:
-
Primeira componente: $ \cos t $
-
Segunda componente: $ \sin t $
-
Terceira componente: $ \ln \cos t $
Para derivar $ \ln \cos t $, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, temos o vetor velocidade:
Passo 5
Finalmente, substituímos $ t = \frac{\pi}{4} $ nas componentes de $ \mathbf{v}(t) $ para encontrar a velocidade no instante desejado:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Resposta
A velocidade da partícula no instante $ t = \frac{\pi}{4} $ é: