Suponha que uma partícula se mova no espaço de modo que sua posição no instante t seja dada pelo vetor r(t). Para valores não nulos de h o vetor
r(t+h)-r(t)h
representa a velocidade média da partícula no intervalo de tempo de comprimento h e seu limite é o vetor velocidade no instante t, ou seja,
v(t)=lim h 0 r(t+h)-r(t)h
(a) Se no instante t uma partícula tem sua posição dada pelo vetor r(t)=lang<=cos t, sen t, ln cos trang<=, qual a velocidade dela no instante t=pi / 4 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e a posição dela no tempo $ t $ é dada pelo vetor $ \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, \ln \cos t \rangle $. O que a gente quer descobrir aqui é: qual é a velocidade dessa partícula no instante $ t = \frac{\pi}{4} $? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a derivada de vetores em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade da partícula é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Isso significa que a velocidade é dada pela derivada do vetor posição $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $. Matemáticamente, escrevemos isso como:
r(t)
Então, nosso primeiro passo é calcular essa derivada.

Passo 3

Vamos derivar cada componente do vetor $ \mathbf{r}(t) $ separadamente:
  1. Primeira componente: $ \cos t $
    r(t)
  2. Segunda componente: $ \sin t $
    cos t
  3. Terceira componente: $ \ln \cos t $
    Para derivar $ \ln \cos t $, usamos a regra da cadeia:
    ddt (cos t) = -sin t

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, temos o vetor velocidade:
v(t) = lang<= -sin t, cos t, -tan t rang<=

Passo 5

Finalmente, substituímos $ t = \frac{\pi}{4} $ nas componentes de $ \mathbf{v}(t) $ para encontrar a velocidade no instante desejado:
  1. Primeira componente:
    t = pi4
  2. Segunda componente:
    v(t)
  3. Terceira componente:
    -sin(pi4) = -raiz22

Resposta

A velocidade da partícula no instante $ t = \frac{\pi}{4} $ é:
t = pi4

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