Suponha que uma partícula se mova no espaço de modo que sua posição no instante
seja dada pelo vetor
. Para valores não nulos de
o vetor
representa a velocidade média da partícula no intervalo de tempo de comprimento
e seu limite é o vetor velocidade no instante
, ou seja,
(b) Quantas unidades de comprimento a partícula percorre, quando ela se move entre os instantes
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para descobrir quantas unidades de comprimento a partícula percorre entre o tempo $ t = 0 $ e $ t = \frac{\pi}{4} $. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de velocidade e posição de uma partícula no espaço, que são parte da matéria de Cálculo Diferencial e Integral aplicada ao movimento.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade está relacionada à posição e como calcular a distância percorrida usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição da partícula é dada pelo vetor $ \mathbf{r}(t) $ no instante $ t $. A velocidade da partícula, $ \mathbf{v}(t) $, é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
Isso significa que a velocidade nos dá a taxa de variação da posição da partícula no tempo.
Passo 3
Agora, para encontrar a distância total percorrida pela partícula entre $ t = 0 $ e $ t = \frac{\pi}{4}
|\mathbf{v}(t)| $) nesse intervalo de tempo. A fórmula para a distância $ S $ é:
Aqui, $ |\mathbf{v}(t)| $ representa a velocidade escalar ou rapidez da partícula, que é sempre um valor positivo.
Passo 4
Para continuar, precisamos saber qual é a expressão de $ \mathbf{v}(t) $. Se tivermos a expressão de $ \mathbf{r}(t) $, podemos derivá-la para encontrar $ \mathbf{v}(t) $. Supondo que já tenhamos $ \mathbf{v}(t) $, calculamos sua magnitude:
Onde $ v_x(t) $, $ v_y(t) $ e $ v_z(t) $ são as componentes da velocidade nos eixos $ x $, $ y $ e $ z $, respectivamente.
Passo 5
Depois de encontrar $ |\mathbf{v}(t)| $, substituímos na integral da Passo 3 e resolvemos. A integral nos dá a área sob a curva da velocidade em função do tempo, que corresponde à distância total percorrida.
Resposta
A distância total percorrida pela partícula entre $ t = 0 $ e $ t = \frac{\pi}{4} $ é dada por:
Para obter o valor numérico de $ S $, é necessário conhecer a expressão específica de $ \mathbf{v}(t) $.