Suponha que uma partícula se move relativamente a O^prime com velocidade constante de c / 2 no plano x^prime y^prime de tal maneira que a trajetória faz um ângulo de 60 graus com o eixo x^prime. Se a velocidade de O^prime com relação a O é de 0.6 c ao longo do eixo x-x^prime, encontre as equações do movimento da partícula quando determinados por O^prime.

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado diz é: temos uma partícula que, no referencial O′, se move com velocidade constante v'=tfracc2 num plano x'y' fazendo um ângulo de 60° com o eixo x'. O referencial O′, por sua vez, se desloca em relação ao referencial O com velocidade V=0,6,c ao longo do eixo x.
Conteúdo: Relatividade Restrita – adição de velocidades.
O que vamos precisar:
  1. Calcular as componentes de velocidade em O′.
  2. Aplicar as fórmulas de transformação de velocidades (adição relativística).
  3. Montar as equações paramétricas x(t) e y(t) em O.

Passo 2

Primeiro, no plano x'y' temos:
v'x = v'cos60^circ = c2,12 = c4,
v'y = v'sin60^circ = c2,raiz32 = raiz34,c
Aqui só usei trigonometria básica pra decompor v' em x' e y'.

Passo 3

Agora vem a Relatividade Restrita: velocidades não somam simplesmente; a fórmula ao longo de x é
vx = v'x + V1 + V,v'xc^2,
e perpendicular ao movimento de O′ (no nosso caso y) é
vy = v'ygammal(1 + tfracV,v'xc^2r),
com gamma = 1raiz1 - l(V/cr)^2 = 1raiz1 - 0,6^2 = 1,25
Substituindo:
  • Produto Vv'x/c^2 = 0,6times0,25 = 0,15.
  • Então
vx = 0,25,c + 0,6,c1 + 0,15 = 0,85,c1,15 = 1723,c approx 0,7391,c,
vy = tfracraiz34c1,25,(1 + 0,15) = tfracraiz34c1,4375 = raiz35,75,c approx 0,3011,c

Passo 4

Como a partícula se move com essas velocidades constantes em O, basta escrever:
x(t) = vx,t = 1723,c,t, y(t) = vy,t = raiz35,75,c,t, z(t)=0

Resposta

As equações do movimento no referencial O são:
boxedx(t) = 1723,c,t, y(t) = raiz35,75,c,t, z(t) = 0

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