Suponha que o potencial em uma superfície esférica de raio R é constante e igual a V0. Encontre o potencial dentro e fora da esfera, usando a solução geral da equação de Laplace com simetria azimutal, qual seja
phi(r, theta)=suml=0^infty(Al r^l+Blr^l+1) Pl(cos theta)
Obviamente, a resposta é o potencial de uma esfera condutora de raio R. Entretanto, o potencial de uma carga pontual também apresenta a mesma propriedade de que seu potencial é constante em uma esfera de raio R, centrada na carga. Qual a razão para nossa solução não incluir este caso?

Passo 1

Cara, o enunciado é o seguinte: temos uma casca ou esfera condutora de raio phi(r,theta)=suml=0^inftyl(Al,r^l+Blr^,l+1r)Pl(costheta) que mantém o potencial na sua superfície igual a . A gente quer achar o potencial elétrico tanto para (dentro) quanto para (fora), usando a solução geral da equação de Laplace com simetria azimutal:
O conteúdo aqui é eletrostática em coordenadas esféricas e expansão em polinômios de Legendre. A gente vai precisar lembrar dos seguintes pontos:
• Condições de contorno numa esfera condutora (continuidade de e restrições no campo elétrico).
• Comportamento físico em (não pode ter singularidade dentro da esfera de condutor) e em (potencial tende a zero).
• Propriedades dos polinômios de Legendre .

Passo 2

Escrevendo a solução em duas regiões:
  1. Dentro da esfera ( ):
  2. Fora da esfera ( ):
Agora a teoria:
– Para , como não há carga dentro do condutor, a equação de Laplace vale e não aceitamos singularidade em . Logo todos os (que dão ) têm de ser zero.
– Para , a gente assume que quando , então todos os (que dariam crescimento infinito) têm de ser zero.

Passo 3

Aplicando essas ideias:
  1. Dentro ( ): , fica
  2. Fora ( ): , fica

Passo 4

Condição na superfície boxed phirm in(r,theta)&=V0, phirm out(r,theta)&=V0,Rr :
  1. para todo .
  2. é constante, então na expansão em só aparece o termo , porque e todos os variam com .
    Logo só temos :
    – Para dentro: .
    – Para fora: .
    Em :
    e .
Portanto

Passo 5

“Mas peraí, o potencial de uma carga pontual em também é e, numa esfera de raio , essa função é constante na superfície! Por que não pegamos esse caso?”
• Porque a solução de uma carga pontual satisfaz a equação de Poisson com fonte em , não a equação de Laplace em toda a região .
• A gente impôs que o potencial dentro do condutor seja finito em , o que derruba qualquer termo (singularidade) na expansão interna.
• Assim, não aceitamos a singularidade do potencial de carga pontual no interior da esfera condutora.

Resposta

V0, & rR
E não incluímos o caso da carga pontual porque exigimos regularidade (potencial finito) em e usamos Laplace (sem fontes) dentro do condutor.

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