Suponha que o potencial em uma superfície esférica de raio
é constante e igual a
. Encontre o potencial dentro e fora da esfera, usando a solução geral da equação de Laplace com simetria azimutal, qual seja
Obviamente, a resposta é o potencial de uma esfera condutora de raio
. Entretanto, o potencial de uma carga pontual também apresenta a mesma propriedade de que seu potencial é constante em uma esfera de raio
, centrada na carga. Qual a razão para nossa solução não incluir este caso?
Passo 1
Cara, o enunciado é o seguinte: temos uma casca ou esfera condutora de raio
que mantém o potencial na sua superfície igual a
. A gente quer achar o potencial elétrico
tanto para
(dentro) quanto para
(fora), usando a solução geral da equação de Laplace com simetria azimutal:
O conteúdo aqui é eletrostática em coordenadas esféricas e expansão em polinômios de Legendre. A gente vai precisar lembrar dos seguintes pontos:
• Condições de contorno numa esfera condutora (continuidade de e restrições no campo elétrico).
• Comportamento físico em (não pode ter singularidade dentro da esfera de condutor) e em
(potencial tende a zero).
• Propriedades dos polinômios de Legendre .
• Condições de contorno numa esfera condutora (continuidade de
• Comportamento físico em
• Propriedades dos polinômios de Legendre
Passo 2
Escrevendo a solução em duas regiões:
- Dentro da esfera (
):
- Fora da esfera (
):
Agora a teoria:
– Para , como não há carga dentro do condutor, a equação de Laplace vale e não aceitamos singularidade em
. Logo todos os
(que dão
) têm de ser zero.
– Para , a gente assume que
quando
, então todos os
(que dariam crescimento infinito) têm de ser zero.
– Para
– Para
Passo 3
Aplicando essas ideias:
- Dentro (
): , fica
- Fora (
): , fica
Passo 4
Condição na superfície
:
-
para todo . -
é constante, então na expansão em só aparece o termo , porque e todos os variam com .
Logo só temos:
– Para dentro:.
– Para fora:.
Em:
e ⇒ .
Portanto
Passo 5
“Mas peraí, o potencial de uma carga pontual
em
também é
e, numa esfera de raio
, essa função é constante na superfície! Por que não pegamos esse caso?”
• Porque a solução de uma carga pontual satisfaz a equação de Poisson com fonte em , não a equação de Laplace em toda a região
.
• A gente impôs que o potencial dentro do condutor seja finito em , o que derruba qualquer termo
(singularidade) na expansão interna.
• Assim, não aceitamos a singularidade do potencial de carga pontual no interior da esfera condutora.
• Porque a solução de uma carga pontual satisfaz a equação de Poisson com fonte em
• A gente impôs que o potencial dentro do condutor seja finito em
• Assim, não aceitamos a singularidade do potencial de carga pontual no interior da esfera condutora.
Resposta
E não incluímos o caso da carga pontual porque exigimos regularidade (potencial finito) em