Suponha que se saiba que para bebês de até um mês de vida o ganho de peso médio quando alimentados com uma dieta suplementar é de 311,9 g com desvio padrão de 142,8 g e o ganho de peso sem a dieta suplementar é de 212,4 g com desvio padrão de 160,3 g. Selecionam-se aleatoriamente 35 bebês alimentados com dieta suplementar e 40 bebês alimentados sem dieta suplementar.
Qual a probabilidade de que a diferença entre as médias de ganho de peso para as duas amostras esteja entre 90 g e 115 g ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos dois grupos de bebês:
  • Grupo A (dieta suplementar): ganho médio de peso μ₁ = 311,9 g e desvio padrão σ₁ = 142,8 g, com n₁ = 35 bebês.
  • Grupo B (sem dieta): ganho médio de peso μ₂ = 212,4 g e desvio padrão σ₂ = 160,3 g, com n₂ = 40 bebês.
A pergunta é: qual a probabilidade de que a diferença entre as médias amostrais (A – B) fique entre 90 g e 115 g?
Conteúdo: distribuição amostral da diferença entre duas médias, Teorema do Limite Central e uso da Normal.

Passo 2

Pela teoria, se as populações são normais (ou n grande), a diferença das médias média: mud = mu1 - mu2 e desvio padrão (erro padrão): sigmad = raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2 é quase Normal com:
mud = 311,9 - 212,4 = 99,5 g, éãã
Substituindo:
sigmad = raiz142,8^235 + 160,3^240

Passo 3

Calculemos 142,8^2 approx 20391,8, 20391,835approx 582,6; :
160,3^2 approx 25696,1, 25696,140approx 642,4;
sigmad = raiz582,6 + 642,4 = raiz1225,0 approx 35,0 g

Passo 4

Queremos
Pl(90 <= bar X1 - bar X2 <= 115r)
Padronizando:
Z = (bar X1 - bar X2) - mudsigmad,
então os limites viram
z1 = 90 - 99,535 approx -0,271, z2 = 115 - 99,535 approx 0,443
Assim,
P(90 <= bar X1 - bar X2 <= 115) = Pl(-0,271 <= Z <= 0,443r)

Passo 5

Buscando na tabela da Normal:
Phi(0,443)approx 0,6707, Phi(-0,271)=1 - Phi(0,271)approx 1 - 0,6066 = 0,3934
Logo,
P = 0,6707 - 0,3934 = 0,2773 approx 0,28

Resposta

A probabilidade de a diferença das médias ficar entre 90 g e 115 g é aproximadamente 0,28 (28%).

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