Suponha que A e B são matrizes quadradas n times n tais que det(A)=-2 e det(B)=4. Calcule os seguintes determinantes
det((-A)(-B)^T).

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas ntimes n com det(A)=-2 e det(B)=4, e pede det!l((-A)(-B)^Tr). Vamos usar as propriedades de determinante:
  1. det(AB)=det(A),det(B).
  2. det(A^T)=det(A).
  3. det(cA)=c^ndet(A) para escalar c.

Passo 2

Calcular det(-A). Como -A é a multiplicação de A por -1,
det(-A)=(-1)^ndet(A)=(-1)^n,(-2)=(-1)^n+1,2

Passo 3

Calcular detl((-B)^Tr). Primeiro, pela propriedade da transposta,
detl((-B)^Tr)=det(-B)
Depois, como -B=(-1),B,
det(-B)=(-1)^ndet(B)=(-1)^n,4

Passo 4

Agora usamos det(AB)=det(A)det(B) com A -A e B(-B)^T:
det!l((-A)(-B)^Tr) =det(-A),detl((-B)^Tr) =l((-1)^n+12r),l((-1)^n4r) =(-1)^2n+1,8
Como 2n é par, (-1)^2n=1, então (-1)^2n+1=-1.

Resposta

det!l((-A)(-B)^Tr)=-8

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