Suponha que z=f(x, y) seja dada implicitamente pela equaçāo
e^z=x y z
Então partial fpartial x e partial fpartial y valem, respectivamente:
y ze^z-x z e x ze^z-x z

Passo 1

O enunciado diz que z=f(x,y) é definida implicitamente por
e^z=x,y,z
Queremos encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x, tratando y como constante, temos
ddxl(e^zr) = ddxl(x,y,zr)
No lado esquerdo
ddxl(e^zr) =e^z,partial zpartial x
No lado direito, usando produto xcdot(y,z),
ddx(x,y,z) =y,z + x,y,partial zpartial x
Igualando,
e^z,partial zpartial x = y,z + x,y,partial zpartial x ;Longrightarrow; l(e^z-x,yr)partial zpartial x = y,z ;Longrightarrow; partial zpartial x =y,ze^z-x,y

Passo 3

De modo análogo, diferenciando em relação a y com x constante:
ddyl(e^zr) = ddyl(x,y,zr)
e^z,partial zpartial y = x,z + x,y,partial zpartial y,
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l(e^z-x,yr)partial zpartial y = x,z ;Longrightarrow; partial zpartial y =x,ze^z-x,y

Resposta

partial fpartial x =y,ze^z-x,y, partial fpartial y =x,ze^z-x,y

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