Suponha que z=f(x, y) seja dada implicitamente pela equaçāo
e^z=x y z
Então partial fpartial x e partial fpartial y valem, respectivamente:
x ze^z-z y e y ze^z-x z

Passo 1

O enunciado diz que z=f(x,y) está definida implicitamente por
e^z = x,y,z
Queremos encontrar partial fpartial x e partial fpartial y. O conteúdo aqui é diferenciação implícita em funções de duas variáveis.

Passo 2

Diferenciamos a equação
e^z = x,y,z
em relação a x, tratando y como constante.
  • Derivada de e^z em relação a x é e^z,partial zpartial x.
  • Derivada de x,y,z em relação a x é partialpartial x(x,y,z) = y,z + x,y,partial zpartial x, pois aqui y é constante e z depende de x.
Logo obtemos
e^z,partial zpartial x = y,z + x,y,partial zpartial x

Passo 3

Isolamos partial zpartial x:
e^z,partial zpartial x - x,y,partial zpartial x = y,z Longrightarrow l(e^z - x,yr)partial zpartial x = y,z
Logo
partial zpartial x = y,ze^z - x,y

Passo 4

Agora diferenciamos a mesma equação em relação a y, tratando x como constante:
  • Derivada de e^z em relação a y é e^z,partial zpartial y.
  • Derivada de x,y,z em relação a y é partialpartial y(x,y,z) = x,z + x,y,partial zpartial y
Então
e^z,partial zpartial y = x,z + x,y,partial zpartial y

Passo 5

Isolando partial zpartial y:
e^z,partial zpartial y - x,y,partial zpartial y = x,z Longrightarrow l(e^z - x,yr)partial zpartial y = x,z
Logo
partial zpartial y = x,ze^z - x,y

Resposta

boxed partial fpartial x = y,ze^z - x,y, partial fpartial y = x,ze^z - x,y

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