Suponha que seja uma matriz quadrada tal que . Explique por que não pode ser invertível. Dê um exemplo de uma matriz não nula tal que .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada tal que
ou seja, é nilpotente de índice no máximo 3. O conteúdo aqui envolve a definição de matriz invertível e a propriedade de que o produto de matrizes invertíveis também é invertível.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que seja invertível. Então existe uma matriz tal que
Como produto de invertíveis é invertível, teríamos que também é invertível, com inversa .
Passo 3
Mas sabemos que
e a matriz nula não é invertível. Isso contradiz a conclusão de que seria invertível. Logo, a hipótese de que é invertível é falsa, e concluímos que não pode ser invertível.
Passo 4
Um exemplo clássico de matriz não nula cujo cubo é zero é a seguinte matriz :