Suponha que A seja uma matriz quadrada tal que A^3=0. Explique por que A não pode ser invertível. Dê um exemplo de uma matriz não nula tal que A^3=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A tal que
A^3 = 0,
ou seja, A é nilpotente de índice no máximo 3. O conteúdo aqui envolve a definição de matriz invertível e a propriedade de que o produto de matrizes invertíveis também é invertível.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que A seja invertível. Então existe uma matriz A^-1 tal que
A,A^-1 = A^-1A = I
Como produto de invertíveis é invertível, teríamos que A^3 também é invertível, com inversa (A^-1)^3.

Passo 3

Mas sabemos que
A^3 = 0,
e a matriz nula não é invertível. Isso contradiz a conclusão de que A^3 seria invertível. Logo, a hipótese de que A é invertível é falsa, e concluímos que A não pode ser invertível.

Passo 4

Um exemplo clássico de matriz não nula cujo cubo é zero é a seguinte matriz 3times3:
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Nesse caso
A^2 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , A^3 = Acdot A^2 = 0
Note que Aneq0 mas A^3=0, mostrando um exemplo de matriz nilpotente de ordem 3.

Resposta

A não pode ser invertível porque, se fosse, A^3 também seria invertível, o que contradiz A^3=0.
Exemplo de matriz não nula com A^3=0:
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

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