Suponha que T seja uma transformação linear. Encontre a matriz canônica de T.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é um cisalhamento horizontal que deixa \mathbf{e}_{1} fixo e leva \mathbf{e}_{2} em \mathbf{e}_{2}+2 \mathbf{e}_{1}.

Passo 1

O enunciado diz que T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear e que
T(\mathbf e_1)=\mathbf e_1, \quad T(\mathbf e_2)=\mathbf e_2+2\,\mathbf e_1.
Para encontrar a matriz canônica de T na base padrão \{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}, basta lembrar que a primeira coluna é T(\mathbf e_1) em coordenadas e a segunda coluna é T(\mathbf e_2) em coordenadas.

Passo 2

Calculando as coordenadas:
T(\mathbf e_1)=\mathbf e_1\longmapsto \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, \qquad T(\mathbf e_2)=2\,\mathbf e_1+\mathbf e_2\longmapsto \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo, montamos a matriz cujas colunas são esses vetores.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

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