Suponha que T seja uma transformação linear. Encontre a matriz canônica de T. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T\left(\mathbf{e}_{1}\right)=(1,4), T\left(\mathbf{e}_{2}\right)=(-2,9) e T\left(\mathbf{e}_{3}\right)=(3,-8), em que \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} e \mathbf{e}_{3} são as colunas da matriz identidade 3 \times 3.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 e informa as imagens dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3. O conteúdo aqui é representação matricial de uma transformação linear em bases canônicas. A teoria diz que, nessa representação, a j-ésima coluna da matriz de T é exatamente o vetor T(\mathbf{e}_j).
Passo 2
Anotamos as imagens fornecidas: T(\mathbf{e}_1)=(1,4), T(\mathbf{e}_2)=(-2,9) e T(\mathbf{e}_3)=(3,-8).
Cada um desses vetores formará, respectivamente, a primeira, a segunda e a terceira coluna da matriz canônica de T.
Passo 3
Agrupando as colunas, obtemos a matriz A de T na base padrão: