Suponha que T seja uma transformação linear. Encontre a matriz canônica de T.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T\left(\mathbf{e}_{1}\right)=(1,4), T\left(\mathbf{e}_{2}\right)=(-2,9) e T\left(\mathbf{e}_{3}\right)=(3,-8), em que \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} e \mathbf{e}_{3} são as colunas da matriz identidade 3 \times 3.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 e informa as imagens dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3. O conteúdo aqui é representação matricial de uma transformação linear em bases canônicas. A teoria diz que, nessa representação, a j-ésima coluna da matriz de T é exatamente o vetor T(\mathbf{e}_j).

Passo 2

Anotamos as imagens fornecidas:
T(\mathbf{e}_1)=(1,4),
T(\mathbf{e}_2)=(-2,9) e
T(\mathbf{e}_3)=(3,-8).
Cada um desses vetores formará, respectivamente, a primeira, a segunda e a terceira coluna da matriz canônica de T.

Passo 3

Agrupando as colunas, obtemos a matriz A de T na base padrão:
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\\\ 4 & 9 & -8 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz canônica de T é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\\\ 4 & 9 & -8 \end{pmatrix}.

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