Suponha que T seja uma transformação linear. Encontre a matriz canônica de T.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é um cisalhamento vertical que leva \mathbf{e}_{1} em \mathbf{e}_{1}-3 \mathbf{e}_{2}, mas deixa \mathbf{e}_{2} fixo.

Passo 1

O enunciado diz que T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é uma transformação linear que “cisalha” verticalmente: ela envia o vetor canônico \mathbf{e}_1 em \mathbf{e}_1 - 3\,\mathbf{e}_2 e deixa \mathbf{e}_2 inalterado. Precisamos encontrar a matriz padrão de T, ou seja, a matriz cujas colunas são as imagens de \mathbf{e}_1 e de \mathbf{e}_2.

Passo 2

Pela linearidade de T, a matriz canônica [T] em relação à base \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\} tem primeira coluna igual a T(\mathbf{e}_1) e segunda coluna igual a T(\mathbf{e}_2).

Passo 3

Do enunciado temos
T(\mathbf{e}_1)=\mathbf{e}_1-3\,\mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}1\\\ -3\end{pmatrix}, \quad T(\mathbf{e}_2)=\mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto, montando as colunas, a matriz fica

Resposta

[T] =\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ -3 & 1 \end{pmatrix}.

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