Suponha que T seja uma transformação linear. Encontre a matriz canônica de T.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} primeiro faz um cisalhamento horizontal que leva \mathbf{e}_{2} em \mathbf{e}_{2}+2 \mathbf{e}_{1} (deixando \mathbf{e}_{1} fixo) e, depois, reflete em relação à reta x_{2}=-x_{1}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz canônica de T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, definida como a composição de dois mapeamentos lineares:
1. Um cisalhamento horizontal que fixa \mathbf e_1 e leva \mathbf e_2 em \mathbf e_2+2\mathbf e_1.
2. Em seguida, uma reflexão em relação à reta x_2=-x_1.
Para resolver, vamos achar as matrizes desses dois operadores na base canônica e depois compô-las.

Passo 2

Vamos achar a matriz do cisalhamento horizontal S. Por definição,
S(\mathbf e_1)=\mathbf e_1 \quad\text{e}\quad S(\mathbf e_2)=\mathbf e_2+2\mathbf e_1.
Na base canônica, a primeira coluna de S é S(\mathbf e_1)=(1,0)^T e a segunda coluna é S(\mathbf e_2)=(2,1)^T. Logo,
S = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora, a reflexão R em relação à reta x_2=-x_1. Essa reta tem vetor diretor unitário
u = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
e a fórmula da reflexão é
R = 2\,u\,u^T - I.
Calculando,
2\,u\,u^T =2\cdot\frac1{2} \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix},
e
R = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Por fim, T faz primeiro o cisalhamento S e depois a reflex~ao R. Na base can^onica, a matriz de T 'e
T = R \cdot S = \begin{pmatrix}0 & -1\\\ -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1\\[6pt] (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 & (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz canônica de T é
\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ -1 & -2 \end{pmatrix}.

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