Suponha que
e
sejam matrizes invertíveis
. Mostre que
também é invertível encontrando uma matriz
tal que
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são matrizes invertíveis de ordem
. Queremos mostrar que o produto
também é invertível, isto é, encontrar uma matriz
tal que
e
. Para isso, usaremos a propriedade de que, se uma matriz
é invertível, existe
tal que
e
.
Passo 2
Como
,
e
são invertíveis, existem as inversas
e
. A dica clássica é escolher
e então verificar que esse
é de fato a inversa de
.
Passo 3
Verificamos primeiro o produto à direita:
Passo 4
Agora verificamos o produto à esquerda:
Passo 5
Como encontramos
tal que
e
, concluímos que
é invertível e