Suponha que A, B e C sejam matrizes invertíveis n times n. Mostre que A B C também é invertível encontrando uma matriz D tal que (A B C) D=I e D(A B C)=I.

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são matrizes invertíveis de ordem n. Queremos mostrar que o produto ABC também é invertível, isto é, encontrar uma matriz D tal que
(ABC)D = I e D(ABC) = I. Para isso, usaremos a propriedade de que, se uma matriz M é invertível, existe M^-1 tal que MM^-1=I e M^-1M=I.

Passo 2

Como A, B e C são invertíveis, existem as inversas ;A^-1,,B^-1 e C^-1. A dica clássica é escolher
D = C^-1,B^-1,A^-1
e então verificar que esse D é de fato a inversa de ABC.

Passo 3

Verificamos primeiro o produto à direita:
(ABC)l(C^-1B^-1A^-1r) = Al(B(C,C^-1)B^-1r)A^-1 = Al(BB^-1r)A^-1 = A,A^-1 = I

Passo 4

Agora verificamos o produto à esquerda:
l(C^-1B^-1A^-1r)(ABC) = C^-1l(B^-1(A^-1A)Br)C = C^-1l(B^-1Br)C = C^-1C = I

Passo 5

Como encontramos D=C^-1B^-1A^-1 tal que
(ABC)D=I e D(ABC)=I, concluímos que ABC é invertível e
(ABC)^-1 ;=; C^-1B^-1A^-1

Resposta

D = C^-1B^-1A^-1

Exercícios relacionados