Suponha que (B-C) D=0, em que B e C sejam matrizes m times n e D seja invertível. Mostre que B=C.

Passo 1

O enunciado diz que temos matrizes B,CinR^mtimes n e uma matriz invertível DinR^ntimes n tais que
(B - C),D = 0
O conteúdo aqui é álgebra de matrizes, em particular a propriedade de cancelamento usando matrizes invertíveis.

Passo 2

Por hipótese, D é invertível, ou seja, existe uma matriz D^-1inR^ntimes n que satisfaz
D,D^-1 = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Multiplicamos a equação (B - C),D = 0 à direita por D^-1$:
(B - C),D,D^-1 ;=; 0 cdot D^-1
Como 0cdot D^-1=0 e D,D^-1=In, segue
(B - C),In = 0 Longrightarrow B - C = 0
Logo, B=C.

Resposta

B=C

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