Suponha que
e
sejam variáveis aleatórias tais que
,
,
. Seja
. Encontre
sob cada uma das seguintes condições:
(a)
e
são independentes;
(b)
e
são não correlacionadas;
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
- Dados:
- Perguntas (para cada caso): encontrar
e sob as condições
(a)e são independentes;
(b)e são não correlacionadas;
(c) é dada.
Estas são exatamente as quantidades que vamos calcular nos passos seguintes.
Passo 2
Regra importante sobre esperança (muito usada aqui):
- Linearidade da esperança: para quaisquer constantes
,
Explicação rápida: esperança é uma média ponderada, então constantes saem para fora e somas se separam. Aqui
e
multiplicam as variáveis;
é uma constante que contribui diretamente.
Aplicando isso a
:
Substituindo os valores dados:
Portanto, a esperança de
é
em todos os casos (não depende de correlação/independência).
Passo 3
Regra importante sobre variância de combinação linear:
- Para quaisquer constantes
,
Explicação dos termos:
-
mede a dispersão de . -
mede como e variam em conjunto; definição
- A constante
não aparece porque adicioná-la apenas desloca a média, não altera a dispersão.
Observações úteis:
- Se
e são independentes, então . - “Não correlacionadas” significa exatamente
(ou seja, correlação nula). - Portanto, nos casos (a) e (b) o termo de covariância é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de variância ao nosso
: aqui
,
e
. Assim,
Isto é
Passo 5
Se
e
são independentes, temos
. Então
Calcule passo a passo:
logo
Resultado para (a):
e
.
Passo 6
Se
e
são não correlacionadas, por definição
também. Assim o cálculo é idêntico ao do caso (a):
Resultado para (b):
e
.
Passo 7
Aqui usamos a definição da covariância:
Substituindo
,
e
:
Agora aplicamos à fórmula de
:
Calcule passo a passo:
Logo
Resultado para (c):
e
.
Resposta
(a)
e
(b) e
(c) e
(b)
(c)