Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias tais que \mathbb{E}[X]=3, \mathbb{E}[Y]=1, \operatorname{Var}(X)=4 \mathrm{e} \operatorname{Var}(Y)=9. Seja Z=5 X-Y+15. Encontre \mathrm{E}(Z) \mathrm{e} \operatorname{Var}(Z) sob cada uma das seguintes condições:
(a) X e Y são independentes;
(b) X e Y são não correlacionadas;
(c) \mathrm{e} \mathrm{E}[X Y]=3.25.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • Dados:
\mathbb{E}[X]=3,\qquad \mathbb{E}[Y]=1,
\operatorname{Var}(X)=4,\qquad \operatorname{Var}(Y)=9,
Z=5X - Y + 15.
  • Perguntas (para cada caso): encontrar \mathrm{E}(Z) e \operatorname{Var}(Z) sob as condições
    (a) X e Y são independentes;
    (b) X e Y são não correlacionadas;
    (c) é dada \mathbb{E}[XY]=3{,}25.
Estas são exatamente as quantidades que vamos calcular nos passos seguintes.

Passo 2

Regra importante sobre esperança (muito usada aqui):
  • Linearidade da esperança: para quaisquer constantes a,b,c,
\mathbb{E}[aX + bY + c] = a\,\mathbb{E}[X] + b\,\mathbb{E}[Y] + c.
Explicação rápida: esperança é uma média ponderada, então constantes saem para fora e somas se separam. Aqui a e b multiplicam as variáveis; c é uma constante que contribui diretamente.
Aplicando isso a Z=5X - Y + 15:
\mathbb{E}[Z] = 5\,\mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y] + 15.
Substituindo os valores dados:
\mathbb{E}[Z] = 5\cdot 3 - 1 + 15 = 15 - 1 + 15 = 29.
Portanto, a esperança de Z é 29 em todos os casos (não depende de correlação/independência).

Passo 3

Regra importante sobre variância de combinação linear:
  • Para quaisquer constantes a,b,c,
\operatorname{Var}(aX + bY + c) = a^{2}\operatorname{Var}(X) + b^{2}\operatorname{Var}(Y) + 2ab\,\operatorname{Cov}(X,Y).
Explicação dos termos:
  • \operatorname{Var}(X) mede a dispersão de X.
  • \operatorname{Cov}(X,Y) mede como X e Y variam em conjunto; definição
\operatorname{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y].
  • A constante c não aparece porque adicioná-la apenas desloca a média, não altera a dispersão.
Observações úteis:
  • Se X e Y são independentes, então \operatorname{Cov}(X,Y)=0.
  • “Não correlacionadas” significa exatamente \operatorname{Cov}(X,Y)=0 (ou seja, correlação nula).
  • Portanto, nos casos (a) e (b) o termo de covariância é 0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de variância ao nosso Z: aqui a=5, b=-1 e c=15. Assim,
\operatorname{Var}(Z) = 5^{2}\operatorname{Var}(X) + (-1)^{2}\operatorname{Var}(Y) + 2\cdot 5\cdot (-1)\cdot \operatorname{Cov}(X,Y).
Isto é
\operatorname{Var}(Z) = 25\operatorname{Var}(X) + 1\operatorname{Var}(Y) -10\,\operatorname{Cov}(X,Y).

Passo 5

Se X e Y são independentes, temos \operatorname{Cov}(X,Y)=0. Então
\operatorname{Var}(Z) = 25\cdot 4 + 1\cdot 9 -10\cdot 0.
Calcule passo a passo:
25\cdot 4 = 100,\qquad 1\cdot 9 = 9,
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\operatorname{Var}(Z) = 100 + 9 = 109.
Resultado para (a): \mathbb{E}(Z)=29 e \operatorname{Var}(Z)=109.

Passo 6

Se X e Y são não correlacionadas, por definição \operatorname{Cov}(X,Y)=0 também. Assim o cálculo é idêntico ao do caso (a):
\operatorname{Var}(Z) = 25\cdot 4 + 1\cdot 9 -10\cdot 0 = 100 + 9 = 109.
Resultado para (b): \mathbb{E}(Z)=29 e \operatorname{Var}(Z)=109.

Passo 7

Aqui usamos a definição da covariância:
\operatorname{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y].
Substituindo \mathbb{E}[XY]=3{,}25, \mathbb{E}[X]=3 e \mathbb{E}[Y]=1:
\operatorname{Cov}(X,Y) = 3{,}25 - 3\cdot 1 = 3{,}25 - 3 = 0{,}25.
Agora aplicamos à fórmula de \operatorname{Var}(Z):
\operatorname{Var}(Z) = 25\cdot 4 + 1\cdot 9 -10\cdot 0{,}25.
Calcule passo a passo:
25\cdot 4 = 100,\qquad 1\cdot 9 = 9,\qquad 10\cdot 0{,}25 = 2{,}5.
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\operatorname{Var}(Z) = 100 + 9 - 2{,}5 = 106{,}5.
Resultado para (c): \mathbb{E}(Z)=29 e \operatorname{Var}(Z)=106{,}5.

Resposta

(a) \mathbb{E}(Z)=29 e \operatorname{Var}(Z)=109
(b) \mathbb{E}(Z)=29 e \operatorname{Var}(Z)=109
(c) \mathbb{E}(Z)=29 e \operatorname{Var}(Z)=106{,}5

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