Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty(-1)^n-1 arctg n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternada sumn=1^infty(-1)^n-1arctan n. O conteúdo envolve séries infinitas, em particular o critério necessário de convergência (termo geral) e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para qualquer série, um passo inicial é checar o comportamento do termo geral an = (-1)^n-1arctan n. Note que arctan n é uma função crescente em n e satisfaz
limntoinftyarctan n = pi2

Passo 3

Logo o termo geral não tende a zero, pois limntoinftyan oscila entre pmtfracpi2, não sendo igual a zero.

Passo 4

Pela condição necessária de convergência de qualquer série, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Aqui não faz falta nem aplicar o critério de Leibniz completo: o termo que não vai a zero já garante divergência.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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