Suponha que o tempo de prova de um determinado atleta na maratona é uma variável aleatória (X) que segue uma distribuição com média de 125 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Considerando que os tempos são independentes entre si, se esse atleta participar de 34 maratonas, qual é a probabilidade de que a média de seus tempos nas provas seja menor que 124 minutos?
a. 0.5817
b. 0.4207
c. 0.4840
d. 0.0869
124-1255=-10,8575=1-0,87500
e. 0.1210

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo que um atleta leva para completar uma maratona. Esse tempo é representado por uma variável aleatória $ X $ que tem média de 125 minutos e desvio padrão de 5 minutos. A gente precisa descobrir a probabilidade de que, se o atleta correr 34 maratonas, a média dos tempos dessas provas seja menor que 124 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Teoria do Limite Central.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com a média de várias amostras (34 maratonas), a Teoria do Limite Central nos ajuda a entender que a média dessas amostras também segue uma distribuição normal. A média dessa nova distribuição é a mesma da original, ou seja, 125 minutos. O desvio padrão, porém, muda e é dado pela fórmula:
sigmabarX = sigmaraizn
Onde:
  • $ \sigma $ é o desvio padrão original (5 minutos)
  • $ n $ é o número de amostras (34 maratonas)

Passo 3

Vamos calcular o novo desvio padrão:
sigmabarX = 5raiz34 approx 55,83095 approx 0,8575 minutos

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média dos tempos seja menor que 124 minutos. Para isso, vamos padronizar essa média usando a Transformação Z, que nos ajuda a localizar essa média na distribuição normal padrão.
A fórmula da transformação Z é:
Z = barX - musigmabarX
Onde:
  • $ \bar{X} $ é a média que queremos analisar (124 minutos)
  • $ \mu $ é a média da distribuição (125 minutos)
  • $ \sigma_{\bar{X}} $ é o desvio padrão da média que calculamos (0,8575 minutos)

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Z = 124 - 1250,8575 = -10,8575 approx -1,165

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de Z. Isso significa encontrar a área à esquerda de $ Z = -1,165 $ na curva da distribuição normal padrão.
Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora de distribuição normal, encontramos que:
Z = -1,165

Resposta

A probabilidade de que a média dos tempos nas 34 maratonas seja menor que 124 minutos é aproximadamente 0,1210, ou 12,10%. Portanto, a alternativa correta é:
e. 0.1210

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