Suponha que tenhamos dois eventos, A e B, sendo P(A)=0,50, P(B)=0,60 e P(A \cap B)=0,40.
a. Encontre P(A \mid B).
b. Encontre P(B \backslash A).
c. A e B são independentes? Por que sim ou por que não?

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B com
P(A)=0,50,\quad P(B)=0,60,\quad P(A\cap B)=0,40
e pede:
  1. P(A\mid B) (probabilidade condicional), que usa a fórmula
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
  1. P(B\setminus A) (parte de B fora de A), que é
P(B\setminus A)=P(B\cap A^c)=P(B)-P(A\cap B).
  1. Verificar se A e B são independentes, o que requer
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).

Passo 2

Calculando a probabilidade condicional:
P(A\mid B) =\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{0,40}{0,60} =\frac{2}{3}\approx0,667.

Passo 3

Determinando a parte de B que não está em A:
P(B\setminus A) = P(B)-P(A\cap B) =0,60-0,40 =0,20.

Passo 4

Testando independência:
se A e B fossem independentes, deveríamos ter
P(A\cap B)\stackrel{?}{=}P(A)\,P(B) =0,50\cdot0,60=0,30.
Mas P(A\cap B)=0,40\neq0,30, logo não são independentes.

Resposta

a. P(A\mid B)=\tfrac{2}{3}\approx0,667.
b. P(B\setminus A)=0,20.
c. Não são independentes, pois P(A\cap B)=0,40 difere de P(A)\,P(B)=0,30.

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