Suponha
uma v.a. uniformemente distribuída no intervalo
, com
.
Para qual valor de
temos
?
Para qual valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo
, onde $ α > 0 $. A pergunta é: para qual valor de $ α $ a variância de $ X $ será igual a 12? Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a variância de uma distribuição uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da variância para uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme no intervalo
. A fórmula é:
No nosso caso, o intervalo é
, então $ a = -α $ e $ b = α $.
Passo 3
Vamos substituir esses valores na fórmula da variância:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora, sabemos que a variância $ Var[X] $ deve ser igual a 12. Então, vamos igualar a expressão que encontramos a 12 e resolver para $ α $:
Multiplicando ambos os lados por 3 para isolar $ α^2 $:
Passo 5
Para encontrar $ α $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como $ α > 0 $, descartamos a raiz negativa.
Resposta
O valor de $ α $ é 6.