Suponha X uma v.a. uniformemente distribuída no intervalo [-alpha ; alpha], com alpha>0.
Para qual valor de alpha temos Var[X]=12 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo X , onde $ α > 0 $. A pergunta é: para qual valor de $ α $ a variância de $ X $ será igual a 12? Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a variância de uma distribuição uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da variância para uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme no intervalo [a, b]. A fórmula é:
Var[X] = (b - a)^212
No nosso caso, o intervalo é [-α, α], então $ a = -α $ e $ b = α $.

Passo 3

Vamos substituir esses valores na fórmula da variância:
Var[X] = (α - (-α))^212 = (2α)^212 = 4α^212
Simplificando a fração:
Var[X] = α^23

Passo 4

Agora, sabemos que a variância $ Var[X] $ deve ser igual a 12. Então, vamos igualar a expressão que encontramos a 12 e resolver para $ α $:
Var[X]
Multiplicando ambos os lados por 3 para isolar $ α^2 $:
α

Passo 5

Para encontrar $ α $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
α
Como $ α > 0 $, descartamos a raiz negativa.

Resposta

O valor de $ α $ é 6.

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