Suponha que três variáveis aleatórias X1, X2 e X3 tem função densidade conjunta dada por:
f(x1, x2, x3)=8 x1 x2 x3, para 0
Suponha que Y1=X1, Y2=X1 X2 e Y3=X1 X2 X3. Encontre a função densidade conjunta de Y1, Y2 e Y3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Estatística envolvendo funções densidade conjunta de variáveis aleatórias. A gente tem três variáveis $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ com uma função densidade conjunta dada por:
X1, X2
Depois, definimos três novas variáveis $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $ como:
X3
Nosso objetivo é encontrar a função densidade conjunta de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $. Para isso, vamos precisar usar a técnica de transformação de variáveis e calcular o Jacobian dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação que está acontecendo aqui. Temos $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $ definidos em termos de $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $. Nosso objetivo é reescrever $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ em termos de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $, porque isso vai nos ajudar a encontrar a densidade conjunta desejada.
Dados que:
Y1, Y2
Y3
X1, X2
Vamos resolver essas equações para $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $:
  • Da primeira equação, já temos $ X_1 = Y_1 $.
  • A segunda equação nos dá $ X_2 = \frac{Y_2}{Y_1} $.
  • A terceira equação nos dá $ X_3 = \frac{Y_3}{Y_2} $.
Então, temos:
X3
X1, X2
X3

Passo 3

Agora que temos $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ em termos de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $, vamos precisar calcular o Jacobian dessa transformação. O Jacobian é uma matriz que nos ajuda a mudar de variáveis na função densidade, e seu determinante é crucial para ajustar a densidade original para a nova transformação.
Primeiro, montamos a matriz Jacobiana $ J $ com as derivadas parciais de $ X_i $ em relação a $ Y_j $:
X1, X2
Vamos calcular cada derivada:
  • $ \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} = 1 $, $ \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} = 0 $, $ \frac{\partial X_1}{\partial Y_3} = 0 $
  • $ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} = -\frac{Y_2}{Y_1^2} $, $ \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} = \frac{1}{Y_1} $, $ \frac{\partial X_2}{\partial Y_3} = 0 $
  • $ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} = 0 $, $ \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} = -\frac{Y_3}{Y_2^2} $, $ \frac{\partial X_3}{\partial Y_3} = \frac{1}{Y_2} $
Então, a matriz Jacobiana fica:
X3
Agora, vamos calcular o determinante desse Jacobiano.

Passo 4

Para encontrar o determinante do Jacobiano $ |J| $, vamos calcular o determinante da matriz que montamos:
|J|
Como a matriz é triangular inferior (acima da diagonal principal temos só zeros), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
J = 1 & 0 & 0 -Y2Y1^2 & 1Y1 & 0 0 & -Y3Y2^2 & 1Y2

Passo 5

Agora que temos o determinante do Jacobiano, podemos usar a fórmula para a função densidade conjunta após a transformação:
fY(y1, y2, y3) = fX(x1, x2, x3) times |J|
Substituindo $ f_X $ e $ |J| $ pelos valores que encontramos:
fX
Mas lembrando que $ x_1 = y_1 $, $ x_2 = \frac{y_2}{y_1} $ e $ x_3 = \frac{y_3}{y_2} $, vamos substituir:
|J|
Simplificando:
fY(y1, y2, y3) = 8 x1 x2 x3 times 1Y1 Y2

Passo 6

Por fim, precisamos definir a região onde essa densidade é válida. Originalmente, cada $ X_i $ está entre 0 e 1, então:
Xi
0 < y1 < 1
0 < y2 = y1 x2 < y1 Rightarrow 0 < y2 < y1
Então, a função densidade conjunta de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $ é:
0 < y3 = y2 x3 < y2 Rightarrow 0 < y3 < y2

Resposta

A função densidade conjunta de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $ é:
Y1, Y2

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