Suponha que três variáveis aleatórias
e
tem função densidade conjunta dada por:
Suponha que
e
. Encontre a função densidade conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Estatística envolvendo funções densidade conjunta de variáveis aleatórias. A gente tem três variáveis $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ com uma função densidade conjunta dada por:
Depois, definimos três novas variáveis $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $ como:
Nosso objetivo é encontrar a função densidade conjunta de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $. Para isso, vamos precisar usar a técnica de transformação de variáveis e calcular o Jacobian dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação que está acontecendo aqui. Temos $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $ definidos em termos de $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $. Nosso objetivo é reescrever $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ em termos de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $, porque isso vai nos ajudar a encontrar a densidade conjunta desejada.
Dados que:
Vamos resolver essas equações para $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $:
- Da primeira equação, já temos $ X_1 = Y_1 $.
- A segunda equação nos dá $ X_2 = \frac{Y_2}{Y_1} $.
- A terceira equação nos dá $ X_3 = \frac{Y_3}{Y_2} $.
Então, temos:
Passo 3
Agora que temos $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ em termos de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $, vamos precisar calcular o Jacobian dessa transformação. O Jacobian é uma matriz que nos ajuda a mudar de variáveis na função densidade, e seu determinante é crucial para ajustar a densidade original para a nova transformação.
Primeiro, montamos a matriz Jacobiana $ J $ com as derivadas parciais de $ X_i $ em relação a $ Y_j $:
Vamos calcular cada derivada:
- $ \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} = 1 $, $ \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} = 0 $, $ \frac{\partial X_1}{\partial Y_3} = 0 $
- $ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} = -\frac{Y_2}{Y_1^2} $, $ \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} = \frac{1}{Y_1} $, $ \frac{\partial X_2}{\partial Y_3} = 0 $
- $ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} = 0 $, $ \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} = -\frac{Y_3}{Y_2^2} $, $ \frac{\partial X_3}{\partial Y_3} = \frac{1}{Y_2} $
Então, a matriz Jacobiana fica:
Agora, vamos calcular o determinante desse Jacobiano.
Passo 4
Para encontrar o determinante do Jacobiano $ |J| $, vamos calcular o determinante da matriz que montamos:
Como a matriz é triangular inferior (acima da diagonal principal temos só zeros), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 5
Agora que temos o determinante do Jacobiano, podemos usar a fórmula para a função densidade conjunta após a transformação:
Substituindo $ f_X $ e $ |J| $ pelos valores que encontramos:
Mas lembrando que $ x_1 = y_1 $, $ x_2 = \frac{y_2}{y_1} $ e $ x_3 = \frac{y_3}{y_2} $, vamos substituir:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, precisamos definir a região onde essa densidade é válida. Originalmente, cada $ X_i $ está entre 0 e 1, então:
Então, a função densidade conjunta de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $ é:
Resposta
A função densidade conjunta de $ Y_1, Y_2 $ e $ Y_3 $ é: