Suponha que o valor de um terreno em uma área nobre de uma cidade venha aumentando à taxa de 100 % ao ano. Qual é o número mínimo inteiro de anos necessários para que o valor do terreno seja correspondente a cem vezes seu valor atual?

Passo 1

Resumo do enunciado: o valor de um terreno cresce 100% ao ano (ou seja, dobra a cada ano). Precisamos achar quantos anos mínimos, em número inteiro, são necessários para que esse valor seja 100 vezes o valor inicial. Conteúdo envolvido: crescimento exponencial e uso de logaritmos.

Passo 2

Como a taxa anual é de 100%, o fator de crescimento a cada ano é 1 + 100% = 2. Logo, após n anos, o valor do terreno será V(n) = V0 cdot 2^n, onde V0 é o valor atual.
Queremos que V(n) seja pelo menos 100 vezes V0. Assim, impomos V0 cdot 2^n >= 100 V0. Cancelando V0 dos dois lados, obtemos a desigualdade 2^n >= 100.

Passo 3

Para encontrar n, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(2^n) >= ln(100) implies n ln(2) >= ln(100) implies n >= ln(100)ln(2)

Passo 4

Calculando numericamente: ln(100) = 2ln(10) approx 2 times 2,3026 = 4,6052 e ln(2) approx 0,6931. Assim,
n >= 4,60520,6931 approx 6,6439

Passo 5

Como n deve ser um número inteiro e satisfazer a desigualdade, o menor valor inteiro que atende é 7.

Resposta

7 anos

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